Пусть переменная величина x n принимает бесконечную последовательность значений

x 1 , x 2 , ..., x n , ..., (1)

причем известен закон изменения переменной x n , т.е. для каждого натурального числа n можно указать соответствующее значение x n . Таким образом предполагается, что переменная x n является функцией от n :

x n = f(n)

Определим одно из важнейших понятий математического анализа - предел последовательности, или, что то же самое, предел переменной величины x n , пробегающей последовательность x 1 , x 2 , ..., x n , ... . .

Определение. Постоянное число a называется пределом последовательности x 1 , x 2 , ..., x n , ... . или пределом переменной x n , если для сколь угодно малого положительного числа e найдется такое натуральное число N (т.е номер N ), что все значения переменной x n , начиная с x N , отличаются от a по абсолютной величине меньше, чем на e. Данное определение кратко записывается так:

| x n - a |< (2)

при всех n  N , или, что то же самое,

Определение предела по Коши . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне . Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности такой, что сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A 1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ >

Число A 2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа – Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: и . Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точке x = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:

Теорема о существовании точной верхней грани

Определение: АR mR, m - верхняя (нижняя) грань А, если аА аm (аm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое m, что аА, выполняется аm (аm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) m’: m’ m’ не верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) n’: n’>n => n’ не нижняя грань A

Определение : SupA=m называется число, такое что: 1)  aA am

2) >0 a  A, такое, что a  a-

InfA = nназывается число, такое что: 1) 1)  aA an

2) >0 a  A, такое, что a E a+

Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АR, имееет точную верхнюю грань, причем единственную.

Доказательство:

Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.

[m]=max{[a]:aA} [[m],[m]+1]A=>[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m 1 =max:aA}]

m 2 =max,m 1:aA}]

m к =max,m 1 ...m K-1:aA}]

[[m],m 1 ...m K , [m],m 1 ...m K + 1 /10 K ]A=>[m],m 1 ...m K + 1/10 K - верхняя грань A

Докажем, что m=[m],m 1 ...m K - точная верхняя грань и что она единственная:

к: .

Рис. 11. График функции y arcsin x .

Введем теперь понятие сложной функции (композиции отображений ). Пусть даны три множества D, E, M и пусть f: D→E, g: E→M. Очевидно, можно построить новое отображение h: D→M, называемое композицией отображений f и g или сложной функцией (рис. 12).

Сложная функция обозначается следующим образом: z =h(x)=g(f(x)) или h = f o g.

Рис. 12. Иллюстрация к понятию сложной функции.

Функция f (x ) при этом называется внутренней функцией , а функция g (y )- внешней функцией .

1. Внутренняя функция f(x)= x², внешняя g (y ) sin y. Сложная функция z= g(f(x))=sin(x²)

2 . Теперь наоборот. Внутренняя функция f (x )= sinx , внешняя g (y ) y 2 . u=f(g(x))=sin²(x)

Вопросы к экзамену по «Математическому анализу», 1 курс, 1-й семестр.

1. Множества. Основные операции над множествами. Метрические и арифметические пространства.

2. Числовые множества. Множества на числовой прямой: отрезки, интервалы, полуоси, окрестности.

3. Определение ограниченного множества. Верхняя и нижняя грани числовых множеств. Постулаты о верхней и нижней гранях числовых множеств.

4. Метод математической индукции. Неравенства Бернулли и Коши.

5. Определение функции. График функции. Чётные и нечётные функции. Периодические функции. Способы задания функции.

6. Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

7. Ограниченные последовательности. Теорема о достаточном условии расходимости последовательности.

8. Определение монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности.

9. Число е.

10. Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Односторонние пределы.

11. Бесконечно малые функции. Предел суммы, произведения и частного функций.

12. Теоремы об устойчивости неравенств. Переход к пределу в неравенствах. Теорема о трёх функциях.

13. Первый и второй замечательные пределы.

14. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями.

15. Сравнение бесконечно малых функций. Свойства эквивалентных бесконечно малых. Теорема о замене бесконечно малых на эквивалентные. Основные эквивалентности.

16. Непрерывность функции в точке. Действия с непрерывными функциями. Непрерывность основных элементарных функций.

17. Классификация точек разрыва функции. Доопределение по непрерывности

18. Определение сложной функции. Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции. Гиперболические функции

19. Непрерывность функции на отрезке. Теоремы Коши об обращении в нуль функции непрерывной на отрезке и о промежуточном значении функции.

20. Свойства функций непрерывных на отрезке. Теорема Вейерштрасса об ограниченности непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значении функции.

21. Определение монотонной функции. Теорема Вейерштрасса о пределе монотонной функции. Теорема о множестве значений функции монотонной и непрерывной на отрезке.

22. Обратная функция. График обратной функции. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

23. Обратные тригонометрические и гиперболические функции.

24. Определение производной функции. Производные основных элементарных функций.

25. Определение дифференцируемой функции. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции. Непрерывность дифференцируемой функции.

26. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

27. Производная суммы, произведения и частного двух функций

28. Производная сложной функции и обратной функции.

29. Логарифмическое дифференцирование. Производная функции заданной параметрически.

30. Главная часть приращения функции. Формула линеаризации функции. Геометрический смысл дифференциала.

31. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала.

32. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о свойствах дифференцируемых функций. Формула конечных приращений.

33. Применение производной к раскрытию неопределенностей в пределах. Правило Лопиталя.

34. Определение производной n-го порядка. Правила нахождения производной n-го порядка. Формула Лейбница. Дифференциалы высших порядков.

35. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Остаточные члены в форме Лагранжа и Коши.

36. Возрастание и убывание функций. Точки экстремума.

37. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба.

38. Бесконечные разрывы функций. Асимптоты.

39. Схема построения графика функции.

40. Определение первообразной. Основные свойства первообразной. Простейшие правила интегрирования. Таблица простейших интегралов.

41. Интегрирование путем замены переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

42. Интегрирование выражений вида e ax cos bx и e ax sin bx с помощью рекуррентных соотношений.

	43. Интегрирование дроби			с помощью рекуррентных соотношений.
			a 2 n

44. Неопределенный интеграл от рациональной функции. Интегрирование простейших дробей.

45. Неопределенный интеграл от рациональной функции. Разложение правильных дробей на простейшие.

46. Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование выражений

	R x, m

47. Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование выражений вида R x , ax 2 bx c . Подстановки Эйлера.

48. Интегрирование выражений вида

ax2 bx c

ax2 bx c

2 bx c

49. Неопределенный интеграл от иррациональной функции. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

50. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная тригонометрическая подстановка.

51. Интегрирование рациональных тригонометрических выражений в случае, когда подынтегральная функция нечетна относительно sin x (или cos x ) или четна относительно sin x и cos x .

52. Интегрирование выражений sin n x cos m x и sin nx cos mx .

53. Интегрирование выражений tg m x и ctg m x .

54. Интегрирование выражений R x , x 2 a 2 , R x , a 2 x 2 и R x , x 2 a 2 с помощью тригонометрических подстановок.

55. Определенный интеграл. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.

56. Интегральные суммы. Суммы Дарбу. Теорема об условии существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций.

57. Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем значении.

58. Определенный интеграл, как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.

59. Формула замены переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле.

60. Приложение интегрального исчисления к геометрии. Объем фигуры. Объем фигур вращения.

61. Приложение интегрального исчисления к геометрии. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейного сектора. Длина кривой.

62. Определение несобственного интеграла I рода. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов I рода. Простейшие свойства.

63. Сходимость несобственных интегралов I рода для положительной функции. 1-я и 2-я теоремы сравнения.

64. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов I рода от знакопеременной функции. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.

65. Определение несобственного интеграла II рода. Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов II рода.

66. Связь несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Несобственные интегралы в смысле главного значения.

Курс ориентирован на бакалавров и магистров, специализирующихся по математическим, экономическим или естественнонаучным дисциплинам, а также на учителей математики средних школ и на преподавателей вузов. Будет также полезен школьникам, углублённо занимающимся математикой.

Построение курса традиционно. Курс охватывает классический материал по математическому анализу, изучающийся на первом курсе университета в первом семестре. Будут представлены разделы «Элементы теории множеств и вещественные числа», «Теория числовых последовательностей», «Предел и непрерывность функции», «Дифференцируемость функции», «Приложения дифференцируемости». Мы познакомимся с понятием множества, дадим строгое определение вещественного числа и изучим свойства вещественных чисел. Затем поговорим о числовых последовательностях и их свойствах. Это позволит рассмотреть понятие числовой функции, хорошо знакомое школьникам, на новом, более строгом уровне. Мы введём понятие предела и непрерывности функции, обсудим свойства непрерывных функций и их применение для решения задач.

Во второй части курса мы дадим определение производной и дифференцируемости функции одной переменной и изучим свойства дифференцируемых функций. Это позволит научиться решать такие важные прикладные задачи, как приближённое вычисление значений функции и решение уравнений, вычисление пределов, исследование свойств функции и построение её графика.

Формат

Форма обучения заочная (дистанционная).
Еженедельные занятия будут включать просмотр тематических видеолекций и выполнение тестовых заданий с автоматизированной проверкой результатов.
Важным элементом изучения дисциплины является самостоятельное решение вычислительных задач и задач на доказательство. Решение должно будет содержать строгие и логически верные рассуждения, приводящие к верному ответу (в случае задачи на вычисление) или полностью доказывающие необходимое утверждение (для теоретических задач).

Требования

Курс рассчитан на бакалавров 1 года обучения. Требуется знание элементарной математики в объёме средней школы (11 классов).

Программа курса

Лекция 1. Элементы теории множеств.
Лекция 2. Понятие вещественного числа. Точные грани числовых множеств.
Лекция 3. Арифметические операции над вещественными числами. Свойства вещественных чисел.
Лекция 4. Числовые последовательности и их свойства.
Лекция 5. Монотонные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.
Лекция 6. Понятие функции одной переменной. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Лекция 7. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
Лекция 8. Монотонные функции. Обратная функция.
Лекция 9. Простейшие элементарные функции и их свойства: показательная, логарифмическая и степенная функции.
Лекция 10. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Замечательные пределы. Равномерная непрерывность функции.
Лекция 11. Понятие производной и дифференциала. Геометрический смысл производной. Правила дифференцирования.
Лекция 12. Производные основных элементарных функций. Дифференциал функции.
Лекция 13. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные параметрически заданных функций.
Лекция 14. Основные свойства дифференцируемых функций. Теоремы Ролля и Лагранжа.
Лекция 15. Теорема Коши. Первое правило Лопиталя раскрытия неопределённостей.
Лекция 16. Второе правило Лопиталя раскрытия неопределённостей. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Лекция 17. Формула Тейлора с остаточным членом в общей форме, в форме Лагранжа и Коши. Разложение по формуле Маклорена основных элементарных функций. Приложения формулы Тейлора.
Лекция 18. Достаточные условия экстремума. Асимптоты графика функции. Выпуклость.
Лекция 19. Точки перегиба. Общая схема исследования функции. Примеры построения графиков.

Результаты обучения

В результате освоения курса слушатель получит представление о базовых понятиях математического анализа: множестве, числе, последовательности и функции, познакомится с их свойствами и научится применять эти свойства при решении задач.