Kursus video "Dapatkan nilai A" mencakup semua topik yang diperlukan untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu dalam matematika dengan 60-65 poin. Selesaikan semua tugas 1-13 Profil Ujian Negara Bersatu dalam matematika. Juga cocok untuk lulus Ujian Negara Terpadu Dasar dalam matematika. Jika Anda ingin lulus Ujian Negara Bersatu dengan poin 90-100, Anda harus menyelesaikan bagian 1 dalam 30 menit dan tanpa kesalahan!

Kursus persiapan Ujian Negara Terpadu untuk kelas 10-11, serta untuk guru. Semua yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan Bagian 1 Ujian Negara Bersatu dalam matematika (12 soal pertama) dan Soal 13 (trigonometri). Dan ini lebih dari 70 poin pada Ujian Negara Bersatu, dan baik siswa dengan nilai 100 poin maupun siswa humaniora tidak dapat melakukannya tanpa poin tersebut.

Semua teori yang diperlukan. Solusi cepat, jebakan dan rahasia Ujian Negara Bersatu. Seluruh tugas saat ini bagian 1 dari Bank Tugas FIPI telah dianalisis. Kursus ini sepenuhnya memenuhi persyaratan Ujian Negara Bersatu 2018.

Kursus ini berisi 5 topik besar, masing-masing 2,5 jam. Setiap topik diberikan dari awal, sederhana dan jelas.

Ratusan tugas Ujian Negara Bersatu. Masalah kata dan teori probabilitas. Algoritma yang sederhana dan mudah diingat untuk memecahkan masalah. Geometri. Teori, bahan referensi, analisis semua jenis tugas Unified State Examination. Stereometri. Solusi rumit, lembar contekan yang berguna, pengembangan imajinasi spasial. Trigonometri dari awal ke soal 13. Pemahaman bukannya menjejalkan. Penjelasan yang jelas tentang konsep yang kompleks. Aljabar. Akar, pangkat dan logaritma, fungsi dan turunannya. Dasar untuk memecahkan masalah kompleks Bagian 2 Ujian Negara Bersatu.

Pendidikan umum menengah

Jalur UMK G.K. Aljabar dan prinsip analisis matematika (10-11) (mendalam)

jalur UMK Merzlyak. Aljabar dan permulaan analisis (10-11) (U)

Matematika

Persiapan Ujian Negara Bersatu Matematika (tingkat profil): tugas, solusi dan penjelasan

Kami menganalisis tugas dan memecahkan contoh dengan guru

Ujian tingkat profil berlangsung 3 jam 55 menit (235 menit).

Ambang batas minimal- 27 poin.

Kertas ujian terdiri dari dua bagian, yang berbeda isi, kompleksitas dan jumlah tugas.

Ciri khas setiap bagian pekerjaan adalah bentuk tugasnya:

• bagian 1 berisi 8 tugas (tugas 1-8) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir;
• bagian 2 berisi 4 tugas (tugas 9-12) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir dan 7 tugas (tugas 13–19) dengan jawaban rinci (catatan lengkap penyelesaian dengan justifikasi untuk tindakan yang diambil).

Panova Svetlana Anatolevna, guru matematika sekolah kategori tertinggi, pengalaman kerja 20 tahun:

“Untuk mendapatkan ijazah sekolah, seorang lulusan harus lulus dua ujian wajib berupa Unified State Examination, salah satunya matematika. Sesuai dengan Konsep Pengembangan Pendidikan Matematika di Federasi Rusia, Ujian Negara Bersatu dalam matematika dibagi menjadi dua tingkatan: dasar dan khusus. Hari ini kita akan melihat opsi tingkat profil.”

Tugas No.1- menguji kemampuan peserta UN Unified State dalam menerapkan keterampilan yang diperoleh pada mata pelajaran matematika dasar kelas 5 sampai dengan 9 dalam kegiatan praktek. Peserta harus memiliki kemampuan komputasi, mampu bekerja dengan bilangan rasional, mampu membulatkan desimal, dan mampu mengubah satuan ukuran ke satuan ukuran lainnya.

Contoh 1. Di apartemen tempat tinggal Peter, dipasang alat pengukur aliran air dingin (meter). Pada tanggal 1 Mei, meteran menunjukkan konsumsi 172 meter kubik. m air, dan pada tanggal 1 Juni - 177 meter kubik. m.Berapa jumlah yang harus dibayar Peter untuk air dingin pada bulan Mei, jika harganya 1 meter kubik? m air dingin adalah 34 rubel 17 kopek? Berikan jawaban Anda dalam rubel.

Larutan:

1) Temukan jumlah air yang dihabiskan per bulan:

177 - 172 = 5 (m kubik)

2) Mari kita cari tahu berapa banyak uang yang harus mereka keluarkan untuk air terbuang:

34,17 5 = 170,85 (gosok)

Menjawab: 170,85.

Tugas No.2- adalah salah satu tugas ujian yang paling sederhana. Mayoritas lulusan berhasil mengatasinya, yang menunjukkan pengetahuan tentang definisi konsep fungsi. Jenis tugas no 2 menurut persyaratan kodifier adalah tugas pemanfaatan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam kegiatan praktek dan kehidupan sehari-hari. Tugas No. 2 terdiri dari mendeskripsikan, menggunakan fungsi, berbagai hubungan nyata antara besaran dan menafsirkan grafiknya. Tugas No. 2 menguji kemampuan mengekstraksi informasi yang disajikan dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik. Lulusan harus mampu menentukan nilai suatu fungsi dari nilai argumennya dengan berbagai cara dalam menentukan fungsi tersebut serta mendeskripsikan perilaku dan sifat-sifat fungsi tersebut berdasarkan grafiknya. Anda juga harus dapat mencari nilai terbesar atau terkecil dari suatu grafik fungsi dan membuat grafik dari fungsi yang dipelajari. Kesalahan yang dilakukan bersifat acak dalam membaca kondisi soal, membaca diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Contoh 2. Gambar tersebut menunjukkan perubahan nilai tukar satu saham perusahaan pertambangan pada paruh pertama April 2017. Pada 7 April, pengusaha tersebut membeli 1.000 saham perusahaan tersebut. Pada 10 April, dia menjual tiga perempat saham yang dibelinya, dan pada 13 April, dia menjual seluruh sisa sahamnya. Berapa kerugian pengusaha akibat operasi tersebut?

Larutan:

2) 1000 · 3/4 = 750 (saham) - merupakan 3/4 dari seluruh saham yang dibeli.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gosok) - pengusaha menerima 1000 saham setelah penjualan.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (gosok) - pengusaha rugi akibat semua operasi.

Menjawab: 15000.

Tugas No.3- Merupakan tugas tingkat dasar bagian pertama, menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bangun datar sesuai dengan isi mata kuliah Planimetri. Tugas 3 menguji kemampuan menghitung luas suatu bangun di atas kertas kotak-kotak, kemampuan menghitung besaran derajat sudut, menghitung keliling, dll.

Contoh 3. Hitunglah luas persegi panjang yang digambar di atas kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm (lihat gambar). Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Larutan: Untuk menghitung luas suatu bangun, Anda dapat menggunakan rumus Puncak:

Untuk menghitung luas persegi panjang tertentu, kita menggunakan rumus Peak:

S= B+	G
	2

dimana B = 10, G = 6, oleh karena itu

S = 18 +	6
	2

Menjawab: 20.

Baca juga: Ujian Negara Terpadu Fisika: Menyelesaikan Masalah Tentang Osilasi

Tugas No.4- tujuan mata kuliah “Teori Probabilitas dan Statistika”. Kemampuan menghitung probabilitas suatu kejadian dalam situasi paling sederhana diuji.

Contoh 4. Ada 5 titik merah dan 1 titik biru yang ditandai pada lingkaran. Tentukan poligon mana yang lebih besar: poligon yang semua simpulnya berwarna merah, atau poligon yang salah satu simpulnya berwarna biru. Dalam jawaban Anda, tunjukkan berapa banyak yang lebih banyak daripada yang lain.

Larutan: 1) Mari kita gunakan rumus banyaknya kombinasi N elemen oleh k:

yang simpulnya semuanya berwarna merah.

3) Satu segi lima dengan semua simpul berwarna merah.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligon dengan semua simpul berwarna merah.

yang memiliki atasan merah atau dengan satu atasan biru.

yang memiliki atasan merah atau dengan satu atasan biru.

8) Satu segi enam dengan simpul merah dan satu simpul biru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligon dengan semua simpul berwarna merah atau satu simpul berwarna biru.

10) 42 – 16 = 26 poligon menggunakan titik biru.

11) 26 – 16 = 10 poligon – berapa banyak lebih banyak poligon yang salah satu simpulnya berupa titik biru dibandingkan poligon yang semua simpulnya hanya berwarna merah.

Menjawab: 10.

Tugas No.5- Tingkat dasar bagian pertama menguji kemampuan menyelesaikan persamaan sederhana (irasional, eksponensial, trigonometri, logaritma).

Contoh 5. Selesaikan persamaan 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Larutan. Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan 5 3 + X≠ 0, kita dapatkan

2 3 + X	= 0,4 atau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

maka dari itu 3 + X = 1, X = –2.

Menjawab: –2.

Tugas No.6 dalam planimetri untuk mencari besaran geometri (panjang, sudut, luas), memodelkan situasi nyata dalam bahasa geometri. Kajian model yang dibangun menggunakan konsep dan teorema geometri. Sumber kesulitannya, sebagai suatu peraturan, adalah ketidaktahuan atau penerapan yang salah dari teorema planimetri yang diperlukan.

Luas segitiga ABC sama dengan 129. DE– garis tengah sejajar dengan samping AB. Temukan luas trapesium TEMPAT TIDUR.

Larutan. Segi tiga CDE mirip dengan segitiga TAKSI pada dua sudut, karena sudut pada titik sudut C umum, sudut CDE sama dengan sudut TAKSI sebagai sudut-sudut yang bersesuaian di DE || AB garis potong AC. Karena DE adalah garis tengah segitiga menurut syarat, lalu menurut sifat garis tengah | DE = (1/2)AB. Artinya koefisien kemiripannya adalah 0,5. Oleh karena itu, luas bangun-bangun yang serupa dihubungkan sebagai kuadrat dari koefisien kemiripan

Karena itu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tugas No.7- memeriksa penerapan turunan untuk mempelajari suatu fungsi. Implementasi yang sukses memerlukan pengetahuan non-formal yang bermakna tentang konsep turunan.

Contoh 7. Ke grafik fungsi kamu = F(X) pada titik absis X 0 ditarik garis singgung yang tegak lurus terhadap garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1) pada grafik ini. Menemukan F′( X 0).

Larutan. 1) Mari kita gunakan persamaan garis yang melalui dua titik tertentu dan cari persamaan garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1).

(kamu – kamu 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(kamu 2 – kamu 1)

(kamu – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(kamu – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–kamu + 3 = –4X+16| · (-1)

kamu – 3 = 4X – 16

kamu = 4X– 13, dimana k 1 = 4.

2) Temukan kemiringan garis singgungnya k 2 yang tegak lurus terhadap garis kamu = 4X– 13, dimana k 1 = 4, menurut rumus:

3) Sudut singgung merupakan turunan fungsi pada titik singgung tersebut. Cara, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Menjawab: –0,25.

Tugas No.8- menguji pengetahuan peserta ujian tentang stereometri dasar, kemampuan menerapkan rumus mencari luas permukaan dan volume bangun, sudut dihedral, membandingkan volume bangun sejenis, mampu melakukan tindakan dengan bangun geometri, koordinat dan vektor, dll.

Volume kubus yang dikelilingi bola adalah 216. Tentukan jari-jari bola tersebut.

Larutan. 1) V kubus = A 3 (di mana A– panjang rusuk kubus), oleh karena itu

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Karena bola berada di dalam kubus, maka panjang diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus, maka D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tugas No.9- mengharuskan lulusannya memiliki keterampilan mentransformasikan dan menyederhanakan ekspresi aljabar. Tugas No. 9 peningkatan tingkat kesulitan dengan jawaban singkat. Tugas pada bagian “Perhitungan dan Transformasi” pada UN Unified State dibagi menjadi beberapa jenis:

transformasi ekspresi rasional numerik;

mengkonversi ekspresi aljabar dan pecahan;

konversi ekspresi irasional numerik/huruf;

tindakan dengan derajat;

mengubah ekspresi logaritmik;

1. mengonversi ekspresi trigonometri numerik/huruf.

Contoh 9. Hitung tanα jika diketahui cos2α = 0,6 dan

3π	< α < π.
4

Larutan. 1) Mari kita gunakan rumus argumen ganda: cos2α = 2 cos 2 α – 1 dan temukan

tan 2 =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	karena 2 α		0,8		8		4		4		4

Artinya tan 2 α = ± 0,5.

3) Dengan syarat

3π	< α < π,
4

ini berarti α adalah sudut kuarter kedua dan tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Menjawab: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tugas No.10- menguji kemampuan siswa untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan awal yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari. Kita dapat mengatakan bahwa ini adalah masalah dalam fisika, dan bukan dalam matematika, tetapi semua rumus dan besaran yang diperlukan diberikan dalam kondisi tersebut. Masalahnya bermuara pada penyelesaian persamaan linier atau kuadrat, atau pertidaksamaan linier atau kuadrat. Oleh karena itu, persamaan dan pertidaksamaan tersebut harus mampu diselesaikan dan ditentukan jawabannya. Jawabannya harus diberikan sebagai bilangan bulat atau pecahan desimal hingga.

Dua benda bermassa M= masing-masing 2 kg, bergerak dengan kecepatan yang sama ay= 10 m/s dengan sudut 2α satu sama lain. Energi (dalam joule) yang dilepaskan selama tumbukan tidak lenting mutlak ditentukan oleh persamaan Q = mv 2 dosa 2 α. Pada sudut terkecil 2α (dalam derajat) berapakah benda harus bergerak agar sedikitnya 50 joule terlepas akibat tumbukan?
Larutan. Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan Q ≥ 50, pada interval 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 dosa 2 α ≥ 50

2 10 2 dosa 2 α ≥ 50

200 dosa 2 α ≥ 50

Karena α ∈ (0°; 90°), kita hanya akan menyelesaikannya

Mari kita nyatakan solusi pertidaksamaan secara grafis:

Karena dengan kondisi α ∈ (0°; 90°), berarti 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tugas No.11- tipikal, tapi ternyata menyulitkan siswa. Sumber kesulitan utama adalah konstruksi model matematika (menyusun persamaan). Tugas No. 11 menguji kemampuan memecahkan masalah cerita.

Contoh 11. Selama liburan musim semi, Vasya, siswa kelas 11, harus menyelesaikan 560 soal latihan untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu. Pada tanggal 18 Maret, di hari terakhir sekolah, Vasya menyelesaikan 5 soal. Kemudian setiap hari dia memecahkan jumlah masalah yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya. Tentukan berapa banyak masalah yang diselesaikan Vasya pada tanggal 2 April, hari terakhir liburan.

Larutan: Mari kita tunjukkan A 1 = 5 – banyaknya soal yang diselesaikan Vasya pada tanggal 18 Maret, D– jumlah tugas harian yang diselesaikan oleh Vasya, N= 16 – jumlah hari dari 18 Maret hingga 2 April inklusif, S 16 = 560 – jumlah total tugas, A 16 – jumlah masalah yang diselesaikan Vasya pada tanggal 2 April. Mengetahui bahwa setiap hari Vasya memecahkan jumlah soal yang sama lebih banyak dibandingkan hari sebelumnya, kita dapat menggunakan rumus untuk mencari jumlah perkembangan aritmatika:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Menjawab: 65.

Tugas No.12- menguji kemampuan siswa dalam melakukan operasi fungsi, dan kemampuan menerapkan turunan dalam mempelajari suatu fungsi.

Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut kamu= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Larutan: 1) Temukan domain definisi fungsi: X + 9 > 0, X> –9, yaitu x ∈ (–9; ∞).

2) Temukan turunan dari fungsi tersebut:

4) Titik yang ditemukan termasuk dalam interval (–9; ∞). Mari kita tentukan tanda-tanda turunan suatu fungsi dan gambarkan perilaku fungsi tersebut pada gambar:

Titik maksimum yang diinginkan X = –8.

Download gratis program kerja matematika untuk materi ajar G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Unduh alat peraga aljabar secara gratis

Tugas No.13-peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, menguji kemampuan menyelesaikan persamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dengan tingkat kerumitan yang meningkat.

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2ko X) + 2 = 0

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut.

Larutan: a) Misalkan log 3 (2cos X) = T, lalu 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

	catatan 3(2kos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		karena X =	4,5	⇔ karena |karena X| ≤ 1,
	catatan 3(2kos X) =	1			2cos X = √3			karena X =	√3
		2							2

lalu karena X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Temukan akar-akar yang terletak pada ruas tersebut.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa akar-akar dari segmen tertentu termasuk dalam

11π	Dan	13π	.
6		6

Menjawab: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tugas No.14-tingkat lanjutan mengacu pada tugas-tugas di bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas tersebut menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bentuk geometris. Tugas tersebut berisi dua poin. Poin pertama tugasnya harus dibuktikan, dan poin kedua harus dihitung.

Diameter lingkaran alas silinder adalah 20, generatrix silinder adalah 28. Bidang tersebut memotong alasnya sepanjang tali busur yang panjangnya 12 dan 16. Jarak antar tali busur adalah 2√197.

a) Buktikan bahwa pusat alas silinder terletak pada salah satu sisi bidang tersebut.

b) Tentukan sudut antara bidang ini dan bidang alas silinder.

Larutan: a) Sebuah tali busur dengan panjang 12 berada pada jarak = 8 dari pusat lingkaran alas, dan tali busur dengan panjang 16 juga berada pada jarak 6. Jadi, jarak antara proyeksinya pada bidang yang sejajar dengan alas silinder adalah 8 + 6 = 14, atau 8 − 6 = 2.

Maka jarak antar akordnya adalah salah satu

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Sesuai dengan kondisi tersebut, kasus kedua terealisasi, dimana proyeksi tali busur terletak pada salah satu sisi sumbu silinder. Artinya sumbu tidak memotong bidang ini di dalam silinder, yaitu alasnya terletak pada salah satu sisinya. Apa yang perlu dibuktikan.

b) Mari kita nyatakan pusat alasnya sebagai O 1 dan O 2. Mari kita menggambar dari pusat alas dengan tali busur yang panjangnya 12 sebuah garis bagi yang tegak lurus terhadap tali busur ini (memiliki panjang 8, seperti yang telah disebutkan) dan dari pusat alas lainnya ke tali busur lainnya. Mereka terletak pada bidang β yang sama, tegak lurus terhadap tali busur ini. Sebut saja titik tengah tali busur kecil B, tali busur besar A, dan proyeksi A ke alas kedua - H (H ∈ β). Maka AB,AH ∈ β dan oleh karena itu AB,AH tegak lurus terhadap tali busur, yaitu garis lurus perpotongan alas dengan bidang tertentu.

Artinya sudut yang dibutuhkan sama dengan

∠ABH = arctan	AH.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Tugas No.15- peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, menguji kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dengan tingkat kerumitan yang meningkat.

Contoh 15. Selesaikan ketimpangan | X 2 – 3X| catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Larutan: Daerah definisi pertidaksamaan ini adalah interval (–1; +∞). Pertimbangkan tiga kasus secara terpisah:

1) Biarkan X 2 – 3X= 0, yaitu X= 0 atau X= 3. Dalam hal ini pertidaksamaan tersebut menjadi benar, oleh karena itu nilai-nilai tersebut termasuk dalam penyelesaiannya.

2) Biarkan sekarang X 2 – 3X> 0, yaitu X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Selain itu, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang menjadi ( X 2 – 3X) catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 dan bagi dengan ekspresi positif X 2 – 3X. Kami mendapatkan log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 atau X≤ –0,5. Dengan mempertimbangkan domain definisi, kita punya X ∈ (–1; –0,5].

3) Terakhir, mari kita pertimbangkan X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). Dalam hal ini, pertidaksamaan awal akan ditulis ulang menjadi (3 X – X 2) catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Setelah dibagi dengan positif 3 X – X 2 , kita mendapatkan log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Dengan mempertimbangkan wilayah yang kita miliki X ∈ (0; 1].

Menggabungkan solusi yang diperoleh, kita memperoleh X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Menjawab: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tugas No.16- Tingkat lanjutan mengacu pada tugas-tugas di bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas tersebut menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bentuk geometris, koordinat, dan vektor. Tugas tersebut berisi dua poin. Poin pertama tugasnya harus dibuktikan, dan poin kedua harus dihitung.

Pada segitiga sama kaki ABC dengan sudut 120°, garis bagi BD digambar di titik sudut A. Persegi panjang DEFH terdapat pada segitiga ABC sehingga sisi FH terletak pada ruas BC, dan titik sudut E terletak pada ruas AB. a) Buktikan bahwa FH = 2DH. b) Hitunglah luas persegi panjang DEFH jika AB = 4.

Larutan: A)

1) ΔBEF – persegi panjang, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, maka EF = BE berdasarkan sifat kaki yang berhadapan dengan sudut 30°.

2) Misalkan EF = DH = X, maka MENJADI = 2 X, BF = X√3 menurut teorema Pythagoras.

3) Karena ΔABC sama kaki, maka ∠B = ∠C = 30˚.

BD adalah garis bagi ∠B, artinya ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Misalkan ΔDBH – persegi panjang, karena DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Menjawab: 24 – 12√3.

Tugas No.17- tugas dengan jawaban rinci, tugas ini menguji penerapan pengetahuan dan keterampilan dalam kegiatan praktek dan kehidupan sehari-hari, kemampuan membangun dan mengeksplorasi model matematika. Tugas ini merupakan soal teks dengan muatan ekonomi.

Contoh 17. Setoran 20 juta rubel rencananya akan dibuka selama empat tahun. Pada setiap akhir tahun, bank meningkatkan simpanannya sebesar 10% dibandingkan ukurannya pada awal tahun. Selain itu, pada awal tahun ketiga dan keempat, investor setiap tahun mengisi kembali depositnya sebesar X juta rubel, di mana X - utuh nomor. Temukan nilai terbesar X, di mana bank akan memperoleh kurang dari 17 juta rubel pada deposito selama empat tahun.

Larutan: Pada akhir tahun pertama, kontribusinya akan menjadi 20 + 20 · 0,1 = 22 juta rubel, dan pada akhir tahun kedua - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 juta rubel. Pada awal tahun ketiga, kontribusinya (dalam juta rubel) akan menjadi (24,2 + X), dan pada akhirnya - (24.2+ X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Pada awal tahun keempat kontribusinya adalah (26,62 + 2,1 X), dan pada akhirnya - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Dengan syarat, Anda perlu mencari bilangan bulat x terbesar yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Solusi bilangan bulat terbesar dari pertidaksamaan ini adalah angka 24.

Menjawab: 24.

Tugas No.18- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban yang terperinci. Tugas ini dimaksudkan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi bukanlah tugas yang menggunakan satu metode penyelesaian, tetapi pada kombinasi berbagai metode. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 18, selain pengetahuan matematika yang kuat, juga diperlukan budaya matematika yang tinggi.

Pada apa A sistem ketidaksetaraan

	X 2 + kamu 2 ≤ 2ay – A 2 + 1
	kamu + A ≤ |X| – A

memiliki tepat dua solusi?

Larutan: Sistem ini dapat ditulis ulang dalam bentuk

	X 2 + (kamu– A) 2 ≤ 1
	kamu ≤ |X| – A

Jika kita menggambar himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama pada bidang datar, kita memperoleh bagian dalam lingkaran (yang berbatas) berjari-jari 1 dan berpusat di titik (0, A). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua adalah bagian bidang yang terletak di bawah grafik fungsi kamu = | X| – A, dan yang terakhir adalah grafik fungsinya
kamu = | X| , digeser ke bawah sebesar A. Penyelesaian sistem ini adalah perpotongan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan.

Akibatnya, sistem ini akan memiliki dua solusi hanya dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 1.

Titik potong lingkaran dan garis merupakan dua penyelesaian sistem. Setiap garis lurus miring terhadap sumbu dengan sudut 45°. Jadi itu segitiga PQR– persegi panjang sama kaki. Dot Q memiliki koordinat (0, A), dan intinya R– koordinat (0, – A). Selain itu, segmennya PR Dan PQ sama dengan jari-jari lingkaran sama dengan 1. Artinya

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Menjawab: A =	√2	.
	2

Tugas No.19- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban yang terperinci. Tugas ini dimaksudkan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi bukanlah tugas yang menggunakan satu metode penyelesaian, tetapi pada kombinasi berbagai metode. Agar berhasil menyelesaikan tugas 19, Anda harus dapat mencari solusi, memilih pendekatan yang berbeda dari pendekatan yang diketahui, dan memodifikasi metode yang dipelajari.

Membiarkan sn jumlah P suku barisan aritmatika ( sebuah hal). Diketahui bahwa S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Berikan rumusnya P jangka waktu perkembangan ini.

b) Temukan jumlah absolut terkecil S n.

c) Temukan yang terkecil P, di mana S n akan menjadi kuadrat dari bilangan bulat.

Larutan: a) Jelas sekali sebuah = S n – S n- 1 . Dengan menggunakan rumus ini, kita mendapatkan:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Cara, sebuah = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Sejak S n = 2N 2 – 25N, lalu pertimbangkan fungsinya S(X) = | 2X 2 – 25x|. Grafiknya dapat dilihat pada gambar.

Jelasnya, nilai terkecil dicapai pada titik bilangan bulat yang terletak paling dekat dengan nol dari fungsi tersebut. Jelas ini adalah poinnya X= 1, X= 12 dan X= 13. Karena, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, maka nilai terkecilnya adalah 12.

c) Dari paragraf sebelumnya berikut ini sn positif, dimulai dari N= 13. Sejak S n = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), maka kasus yang jelas, ketika ekspresi ini adalah kuadrat sempurna, terwujud ketika N = 2N– 25, yaitu pada P= 25.

Tetap memeriksa nilai dari 13 hingga 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ternyata untuk nilai yang lebih kecil P kuadrat lengkap tidak tercapai.

Menjawab: A) sebuah = 4N– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sejak Mei 2017, grup penerbitan bersatu "DROFA-VENTANA" telah menjadi bagian dari perusahaan Buku Teks Rusia. Korporasi juga mencakup penerbit Astrel dan platform pendidikan digital LECTA. Alexander Brychkin, lulusan Akademi Keuangan di bawah Pemerintah Federasi Rusia, Kandidat Ilmu Ekonomi, kepala proyek inovatif penerbit DROFA di bidang pendidikan digital (buku teks bentuk elektronik, Sekolah Elektronik Rusia, platform pendidikan digital LECTA) diangkat sebagai Direktur Jenderal. Sebelum bergabung dengan penerbit DROFA, beliau menjabat sebagai wakil presiden untuk pengembangan strategis dan investasi di penerbit EKSMO-AST. Saat ini, perusahaan penerbitan Buku Teks Rusia memiliki portofolio buku teks terbesar yang termasuk dalam Daftar Federal - 485 judul (sekitar 40%, tidak termasuk buku teks untuk sekolah luar biasa). Penerbit korporasi memiliki kumpulan buku teks paling populer di sekolah-sekolah Rusia dalam bidang fisika, menggambar, biologi, kimia, teknologi, geografi, astronomi - bidang pengetahuan yang diperlukan untuk pengembangan potensi produktif negara. Portofolio korporasi meliputi buku pelajaran dan alat peraga untuk sekolah dasar, yang dianugerahi Penghargaan Presiden di bidang pendidikan. Ini adalah buku teks dan manual dalam bidang studi yang diperlukan untuk pengembangan potensi ilmiah, teknis dan produksi Rusia.

Ujian Negara Terpadu matematika merupakan disiplin ilmu utama yang diambil oleh seluruh lulusan. Tes ujian dibagi menjadi dua tingkatan - dasar dan profil. Yang kedua hanya diwajibkan bagi mereka yang berencana menjadikan matematika sebagai mata pelajaran utama di suatu perguruan tinggi. Semua orang mengambil tingkat dasar. Tujuan dari tes ini adalah untuk memeriksa tingkat keterampilan dan pengetahuan mahasiswa pascasarjana untuk memenuhi norma dan standar. Pembagian menjadi tingkat khusus dan dasar pertama kali digunakan pada tahun 2017 sehingga siswa yang tidak memerlukan matematika tingkat lanjut untuk masuk universitas tidak membuang waktu untuk mempersiapkan tugas-tugas yang kompleks.

Untuk menerima sertifikat dan menyerahkan dokumen ke universitas, Anda harus menyelesaikan tugas tingkat dasar dengan memuaskan. Persiapan meliputi pengulangan kurikulum sekolah pada bidang aljabar dan geometri. Tugas USE tingkat dasar tersedia untuk anak sekolah dengan tingkat pengetahuan berbeda. Tingkat dasar dapat dilalui oleh siswa yang cukup memperhatikan pelajaran.
Rekomendasi utama untuk persiapan adalah:

• Ada baiknya memulai persiapan sistematis terlebih dahulu agar Anda tidak perlu gugup, menguasai semua tugas 1-2 bulan sebelum ujian. Jangka waktu yang diperlukan untuk persiapan yang berkualitas tergantung pada tingkat pengetahuan awal.
• Jika Anda tidak yakin dapat menyelesaikan tugas sendiri, carilah bantuan dari tutor - dia akan membantu Anda mensistematisasikan pengetahuan Anda.
• Latihan memecahkan masalah, contoh, tugas, sesuai program.
• Selesaikan tugas secara online - “Selesaikan Ujian Negara Bersatu” akan membantu pelatihan rutin dan persiapan ujian. Dengan seorang tutor, Anda akan dapat menganalisis kesalahan dan menganalisis tugas-tugas yang menyebabkan kesulitan tertentu.

Agar berhasil lulus ujian, Anda perlu meninjau topik-topik berikut: persamaan dan pertidaksamaan, sistem koordinat, bangun ruang, transformasi identitas, fungsi dan vektor.
Dalam proses persiapan, selesaikan sebanyak mungkin tugas dengan tingkat kesulitan yang berbeda-beda, secara bertahap lanjutkan menyelesaikan tugas dengan waktu. Mencari tahu .
Metode persiapan

• Mempelajari suatu mata pelajaran di sekolah;
• Pendidikan mandiri - memecahkan masalah dengan memberi contoh;
• Pelajaran dengan tutor;
• Kursus pelatihan;
• Persiapan daring.

Opsi terakhir adalah menghemat waktu dan uang, kesempatan untuk menguji kekuatan Anda dan menguraikan serangkaian tugas bermasalah.

Ada 20 tugas (jumlahnya bisa berubah setiap tahun), yang harus Anda berikan jawaban singkatnya. Jumlah ini cukup bagi seorang siswa yang berencana memasuki perguruan tinggi untuk mengambil jurusan humaniora.
Subjek diberikan waktu 3 jam untuk menyelesaikan tugas. Sebelum mulai bekerja, Anda harus membaca instruksi dengan cermat dan bertindak sesuai dengan ketentuannya. Buku catatan ujian disertai dengan bahan referensi yang diperlukan untuk lulus ujian ujian. Untuk berhasil menyelesaikan semua tugas, 5 poin diberikan, skor ambang batas minimum adalah 3.

Pendidikan umum menengah

Jalur UMK G.K. Aljabar dan prinsip analisis matematika (10-11) (mendalam)

jalur UMK Merzlyak. Aljabar dan permulaan analisis (10-11) (U)

Matematika

Persiapan Ujian Negara Bersatu Matematika (tingkat profil): tugas, solusi dan penjelasan

Kami menganalisis tugas dan memecahkan contoh dengan guru

Ujian tingkat profil berlangsung 3 jam 55 menit (235 menit).

Ambang batas minimal- 27 poin.

Kertas ujian terdiri dari dua bagian, yang berbeda isi, kompleksitas dan jumlah tugas.

Ciri khas setiap bagian pekerjaan adalah bentuk tugasnya:

• bagian 1 berisi 8 tugas (tugas 1-8) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir;
• bagian 2 berisi 4 tugas (tugas 9-12) dengan jawaban singkat berupa bilangan bulat atau pecahan desimal akhir dan 7 tugas (tugas 13–19) dengan jawaban rinci (catatan lengkap penyelesaian dengan justifikasi untuk tindakan yang diambil).

Panova Svetlana Anatolevna, guru matematika sekolah kategori tertinggi, pengalaman kerja 20 tahun:

“Untuk mendapatkan ijazah sekolah, seorang lulusan harus lulus dua ujian wajib berupa Unified State Examination, salah satunya matematika. Sesuai dengan Konsep Pengembangan Pendidikan Matematika di Federasi Rusia, Ujian Negara Bersatu dalam matematika dibagi menjadi dua tingkatan: dasar dan khusus. Hari ini kita akan melihat opsi tingkat profil.”

Tugas No.1- menguji kemampuan peserta UN Unified State dalam menerapkan keterampilan yang diperoleh pada mata pelajaran matematika dasar kelas 5 sampai dengan 9 dalam kegiatan praktek. Peserta harus memiliki kemampuan komputasi, mampu bekerja dengan bilangan rasional, mampu membulatkan desimal, dan mampu mengubah satuan ukuran ke satuan ukuran lainnya.

Contoh 1. Di apartemen tempat tinggal Peter, dipasang alat pengukur aliran air dingin (meter). Pada tanggal 1 Mei, meteran menunjukkan konsumsi 172 meter kubik. m air, dan pada tanggal 1 Juni - 177 meter kubik. m.Berapa jumlah yang harus dibayar Peter untuk air dingin pada bulan Mei, jika harganya 1 meter kubik? m air dingin adalah 34 rubel 17 kopek? Berikan jawaban Anda dalam rubel.

Larutan:

1) Temukan jumlah air yang dihabiskan per bulan:

177 - 172 = 5 (m kubik)

2) Mari kita cari tahu berapa banyak uang yang harus mereka keluarkan untuk air terbuang:

34,17 5 = 170,85 (gosok)

Menjawab: 170,85.

Tugas No.2- adalah salah satu tugas ujian yang paling sederhana. Mayoritas lulusan berhasil mengatasinya, yang menunjukkan pengetahuan tentang definisi konsep fungsi. Jenis tugas no 2 menurut persyaratan kodifier adalah tugas pemanfaatan pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh dalam kegiatan praktek dan kehidupan sehari-hari. Tugas No. 2 terdiri dari mendeskripsikan, menggunakan fungsi, berbagai hubungan nyata antara besaran dan menafsirkan grafiknya. Tugas No. 2 menguji kemampuan mengekstraksi informasi yang disajikan dalam bentuk tabel, diagram, dan grafik. Lulusan harus mampu menentukan nilai suatu fungsi dari nilai argumennya dengan berbagai cara dalam menentukan fungsi tersebut serta mendeskripsikan perilaku dan sifat-sifat fungsi tersebut berdasarkan grafiknya. Anda juga harus dapat mencari nilai terbesar atau terkecil dari suatu grafik fungsi dan membuat grafik dari fungsi yang dipelajari. Kesalahan yang dilakukan bersifat acak dalam membaca kondisi soal, membaca diagram.

#ADVERTISING_INSERT#

Contoh 2. Gambar tersebut menunjukkan perubahan nilai tukar satu saham perusahaan pertambangan pada paruh pertama April 2017. Pada 7 April, pengusaha tersebut membeli 1.000 saham perusahaan tersebut. Pada 10 April, dia menjual tiga perempat saham yang dibelinya, dan pada 13 April, dia menjual seluruh sisa sahamnya. Berapa kerugian pengusaha akibat operasi tersebut?

Larutan:

2) 1000 · 3/4 = 750 (saham) - merupakan 3/4 dari seluruh saham yang dibeli.

6) 247500 + 77500 = 325000 (gosok) - pengusaha menerima 1000 saham setelah penjualan.

7) 340.000 – 325.000 = 15.000 (gosok) - pengusaha rugi akibat semua operasi.

Menjawab: 15000.

Tugas No.3- Merupakan tugas tingkat dasar bagian pertama, menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bangun datar sesuai dengan isi mata kuliah Planimetri. Tugas 3 menguji kemampuan menghitung luas suatu bangun di atas kertas kotak-kotak, kemampuan menghitung besaran derajat sudut, menghitung keliling, dll.

Contoh 3. Hitunglah luas persegi panjang yang digambar di atas kertas kotak-kotak dengan ukuran sel 1 cm kali 1 cm (lihat gambar). Berikan jawaban Anda dalam sentimeter persegi.

Larutan: Untuk menghitung luas suatu bangun, Anda dapat menggunakan rumus Puncak:

Untuk menghitung luas persegi panjang tertentu, kita menggunakan rumus Peak:

S= B+	G
	2

dimana B = 10, G = 6, oleh karena itu

S = 18 +	6
	2

Menjawab: 20.

Baca juga: Ujian Negara Terpadu Fisika: Menyelesaikan Masalah Tentang Osilasi

Tugas No.4- tujuan mata kuliah “Teori Probabilitas dan Statistika”. Kemampuan menghitung probabilitas suatu kejadian dalam situasi paling sederhana diuji.

Contoh 4. Ada 5 titik merah dan 1 titik biru yang ditandai pada lingkaran. Tentukan poligon mana yang lebih besar: poligon yang semua simpulnya berwarna merah, atau poligon yang salah satu simpulnya berwarna biru. Dalam jawaban Anda, tunjukkan berapa banyak yang lebih banyak daripada yang lain.

Larutan: 1) Mari kita gunakan rumus banyaknya kombinasi N elemen oleh k:

yang simpulnya semuanya berwarna merah.

3) Satu segi lima dengan semua simpul berwarna merah.

4) 10 + 5 + 1 = 16 poligon dengan semua simpul berwarna merah.

yang memiliki atasan merah atau dengan satu atasan biru.

yang memiliki atasan merah atau dengan satu atasan biru.

8) Satu segi enam dengan simpul merah dan satu simpul biru.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 poligon dengan semua simpul berwarna merah atau satu simpul berwarna biru.

10) 42 – 16 = 26 poligon menggunakan titik biru.

11) 26 – 16 = 10 poligon – berapa banyak lebih banyak poligon yang salah satu simpulnya berupa titik biru dibandingkan poligon yang semua simpulnya hanya berwarna merah.

Menjawab: 10.

Tugas No.5- Tingkat dasar bagian pertama menguji kemampuan menyelesaikan persamaan sederhana (irasional, eksponensial, trigonometri, logaritma).

Contoh 5. Selesaikan persamaan 2 3 + X= 0,4 5 3 + X .

Larutan. Bagilah kedua ruas persamaan ini dengan 5 3 + X≠ 0, kita dapatkan

2 3 + X	= 0,4 atau		2		3 + X	=	2	,
5 3 + X			5				5

maka dari itu 3 + X = 1, X = –2.

Menjawab: –2.

Tugas No.6 dalam planimetri untuk mencari besaran geometri (panjang, sudut, luas), memodelkan situasi nyata dalam bahasa geometri. Kajian model yang dibangun menggunakan konsep dan teorema geometri. Sumber kesulitannya, sebagai suatu peraturan, adalah ketidaktahuan atau penerapan yang salah dari teorema planimetri yang diperlukan.

Luas segitiga ABC sama dengan 129. DE– garis tengah sejajar dengan samping AB. Temukan luas trapesium TEMPAT TIDUR.

Larutan. Segi tiga CDE mirip dengan segitiga TAKSI pada dua sudut, karena sudut pada titik sudut C umum, sudut CDE sama dengan sudut TAKSI sebagai sudut-sudut yang bersesuaian di DE || AB garis potong AC. Karena DE adalah garis tengah segitiga menurut syarat, lalu menurut sifat garis tengah | DE = (1/2)AB. Artinya koefisien kemiripannya adalah 0,5. Oleh karena itu, luas bangun-bangun yang serupa dihubungkan sebagai kuadrat dari koefisien kemiripan

Karena itu, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Tugas No.7- memeriksa penerapan turunan untuk mempelajari suatu fungsi. Implementasi yang sukses memerlukan pengetahuan non-formal yang bermakna tentang konsep turunan.

Contoh 7. Ke grafik fungsi kamu = F(X) pada titik absis X 0 ditarik garis singgung yang tegak lurus terhadap garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1) pada grafik ini. Menemukan F′( X 0).

Larutan. 1) Mari kita gunakan persamaan garis yang melalui dua titik tertentu dan cari persamaan garis yang melalui titik (4; 3) dan (3; –1).

(kamu – kamu 1)(X 2 – X 1) = (X – X 1)(kamu 2 – kamu 1)

(kamu – 3)(3 – 4) = (X – 4)(–1 – 3)

(kamu – 3)(–1) = (X – 4)(–4)

–kamu + 3 = –4X+16| · (-1)

kamu – 3 = 4X – 16

kamu = 4X– 13, dimana k 1 = 4.

2) Temukan kemiringan garis singgungnya k 2 yang tegak lurus terhadap garis kamu = 4X– 13, dimana k 1 = 4, menurut rumus:

3) Sudut singgung merupakan turunan fungsi pada titik singgung tersebut. Cara, F′( X 0) = k 2 = –0,25.

Menjawab: –0,25.

Tugas No.8- menguji pengetahuan peserta ujian tentang stereometri dasar, kemampuan menerapkan rumus mencari luas permukaan dan volume bangun, sudut dihedral, membandingkan volume bangun sejenis, mampu melakukan tindakan dengan bangun geometri, koordinat dan vektor, dll.

Volume kubus yang dikelilingi bola adalah 216. Tentukan jari-jari bola tersebut.

Larutan. 1) V kubus = A 3 (di mana A– panjang rusuk kubus), oleh karena itu

A 3 = 216

A = 3 √216

2) Karena bola berada di dalam kubus, maka panjang diameter bola sama dengan panjang rusuk kubus, maka D = A, D = 6, D = 2R, R = 6: 2 = 3.

Tugas No.9- mengharuskan lulusannya memiliki keterampilan mentransformasikan dan menyederhanakan ekspresi aljabar. Tugas No. 9 peningkatan tingkat kesulitan dengan jawaban singkat. Tugas pada bagian “Perhitungan dan Transformasi” pada UN Unified State dibagi menjadi beberapa jenis:

transformasi ekspresi rasional numerik;

mengkonversi ekspresi aljabar dan pecahan;

konversi ekspresi irasional numerik/huruf;

tindakan dengan derajat;

mengubah ekspresi logaritmik;

1. mengonversi ekspresi trigonometri numerik/huruf.

Contoh 9. Hitung tanα jika diketahui cos2α = 0,6 dan

3π	< α < π.
4

Larutan. 1) Mari kita gunakan rumus argumen ganda: cos2α = 2 cos 2 α – 1 dan temukan

tan 2 =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	karena 2 α		0,8		8		4		4		4

Artinya tan 2 α = ± 0,5.

3) Dengan syarat

3π	< α < π,
4

ini berarti α adalah sudut kuarter kedua dan tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Menjawab: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Tugas No.10- menguji kemampuan siswa untuk menggunakan pengetahuan dan keterampilan awal yang diperoleh dalam kegiatan praktis dan kehidupan sehari-hari. Kita dapat mengatakan bahwa ini adalah masalah dalam fisika, dan bukan dalam matematika, tetapi semua rumus dan besaran yang diperlukan diberikan dalam kondisi tersebut. Masalahnya bermuara pada penyelesaian persamaan linier atau kuadrat, atau pertidaksamaan linier atau kuadrat. Oleh karena itu, persamaan dan pertidaksamaan tersebut harus mampu diselesaikan dan ditentukan jawabannya. Jawabannya harus diberikan sebagai bilangan bulat atau pecahan desimal hingga.

Dua benda bermassa M= masing-masing 2 kg, bergerak dengan kecepatan yang sama ay= 10 m/s dengan sudut 2α satu sama lain. Energi (dalam joule) yang dilepaskan selama tumbukan tidak lenting mutlak ditentukan oleh persamaan Q = mv 2 dosa 2 α. Pada sudut terkecil 2α (dalam derajat) berapakah benda harus bergerak agar sedikitnya 50 joule terlepas akibat tumbukan?
Larutan. Untuk menyelesaikan soal tersebut, kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan Q ≥ 50, pada interval 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 dosa 2 α ≥ 50

2 10 2 dosa 2 α ≥ 50

200 dosa 2 α ≥ 50

Karena α ∈ (0°; 90°), kita hanya akan menyelesaikannya

Mari kita nyatakan solusi pertidaksamaan secara grafis:

Karena dengan kondisi α ∈ (0°; 90°), berarti 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Tugas No.11- tipikal, tapi ternyata menyulitkan siswa. Sumber kesulitan utama adalah konstruksi model matematika (menyusun persamaan). Tugas No. 11 menguji kemampuan memecahkan masalah cerita.

Contoh 11. Selama liburan musim semi, Vasya, siswa kelas 11, harus menyelesaikan 560 soal latihan untuk mempersiapkan Ujian Negara Bersatu. Pada tanggal 18 Maret, di hari terakhir sekolah, Vasya menyelesaikan 5 soal. Kemudian setiap hari dia memecahkan jumlah masalah yang sama lebih banyak dari hari sebelumnya. Tentukan berapa banyak masalah yang diselesaikan Vasya pada tanggal 2 April, hari terakhir liburan.

Larutan: Mari kita tunjukkan A 1 = 5 – banyaknya soal yang diselesaikan Vasya pada tanggal 18 Maret, D– jumlah tugas harian yang diselesaikan oleh Vasya, N= 16 – jumlah hari dari 18 Maret hingga 2 April inklusif, S 16 = 560 – jumlah total tugas, A 16 – jumlah masalah yang diselesaikan Vasya pada tanggal 2 April. Mengetahui bahwa setiap hari Vasya memecahkan jumlah soal yang sama lebih banyak dibandingkan hari sebelumnya, kita dapat menggunakan rumus untuk mencari jumlah perkembangan aritmatika:

560 = (5 + A 16) 8,

5 + A 16 = 560: 8,

5 + A 16 = 70,

A 16 = 70 – 5

A 16 = 65.

Menjawab: 65.

Tugas No.12- menguji kemampuan siswa dalam melakukan operasi fungsi, dan kemampuan menerapkan turunan dalam mempelajari suatu fungsi.

Temukan titik maksimum dari fungsi tersebut kamu= 10ln( X + 9) – 10X + 1.

Larutan: 1) Temukan domain definisi fungsi: X + 9 > 0, X> –9, yaitu x ∈ (–9; ∞).

2) Temukan turunan dari fungsi tersebut:

4) Titik yang ditemukan termasuk dalam interval (–9; ∞). Mari kita tentukan tanda-tanda turunan suatu fungsi dan gambarkan perilaku fungsi tersebut pada gambar:

Titik maksimum yang diinginkan X = –8.

Download gratis program kerja matematika untuk materi ajar G.K. Muravina, K.S. Muravina, O.V. Muravina 10-11 Unduh alat peraga aljabar secara gratis

Tugas No.13-peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, menguji kemampuan menyelesaikan persamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dengan tingkat kerumitan yang meningkat.

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos X) – 5log 3 (2ko X) + 2 = 0

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut.

Larutan: a) Misalkan log 3 (2cos X) = T, lalu 2 T 2 – 5T + 2 = 0,

	catatan 3(2kos X) =	2	⇔		2cos X = 9	⇔		karena X =	4,5	⇔ karena |karena X| ≤ 1,
	catatan 3(2kos X) =	1			2cos X = √3			karena X =	√3
		2							2

lalu karena X =	√3
	2

	X =	π	+ 2π k
		6
	X = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Temukan akar-akar yang terletak pada ruas tersebut.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa akar-akar dari segmen tertentu termasuk dalam

11π	Dan	13π	.
6		6

Menjawab: A)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; B)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Tugas No.14-tingkat lanjutan mengacu pada tugas-tugas di bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas tersebut menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bentuk geometris. Tugas tersebut berisi dua poin. Poin pertama tugasnya harus dibuktikan, dan poin kedua harus dihitung.

Diameter lingkaran alas silinder adalah 20, generatrix silinder adalah 28. Bidang tersebut memotong alasnya sepanjang tali busur yang panjangnya 12 dan 16. Jarak antar tali busur adalah 2√197.

a) Buktikan bahwa pusat alas silinder terletak pada salah satu sisi bidang tersebut.

b) Tentukan sudut antara bidang ini dan bidang alas silinder.

Larutan: a) Sebuah tali busur dengan panjang 12 berada pada jarak = 8 dari pusat lingkaran alas, dan tali busur dengan panjang 16 juga berada pada jarak 6. Jadi, jarak antara proyeksinya pada bidang yang sejajar dengan alas silinder adalah 8 + 6 = 14, atau 8 − 6 = 2.

Maka jarak antar akordnya adalah salah satu

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Sesuai dengan kondisi tersebut, kasus kedua terealisasi, dimana proyeksi tali busur terletak pada salah satu sisi sumbu silinder. Artinya sumbu tidak memotong bidang ini di dalam silinder, yaitu alasnya terletak pada salah satu sisinya. Apa yang perlu dibuktikan.

b) Mari kita nyatakan pusat alasnya sebagai O 1 dan O 2. Mari kita menggambar dari pusat alas dengan tali busur yang panjangnya 12 sebuah garis bagi yang tegak lurus terhadap tali busur ini (memiliki panjang 8, seperti yang telah disebutkan) dan dari pusat alas lainnya ke tali busur lainnya. Mereka terletak pada bidang β yang sama, tegak lurus terhadap tali busur ini. Sebut saja titik tengah tali busur kecil B, tali busur besar A, dan proyeksi A ke alas kedua - H (H ∈ β). Maka AB,AH ∈ β dan oleh karena itu AB,AH tegak lurus terhadap tali busur, yaitu garis lurus perpotongan alas dengan bidang tertentu.

Artinya sudut yang dibutuhkan sama dengan

∠ABH = arctan	AH.	= arctan	28	= arctg14.
	B.H.		8 – 6

Tugas No.15- peningkatan tingkat kerumitan dengan jawaban terperinci, menguji kemampuan menyelesaikan pertidaksamaan, yang paling berhasil diselesaikan di antara tugas-tugas dengan jawaban terperinci dengan tingkat kerumitan yang meningkat.

Contoh 15. Selesaikan ketimpangan | X 2 – 3X| catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 .

Larutan: Daerah definisi pertidaksamaan ini adalah interval (–1; +∞). Pertimbangkan tiga kasus secara terpisah:

1) Biarkan X 2 – 3X= 0, yaitu X= 0 atau X= 3. Dalam hal ini pertidaksamaan tersebut menjadi benar, oleh karena itu nilai-nilai tersebut termasuk dalam penyelesaiannya.

2) Biarkan sekarang X 2 – 3X> 0, yaitu X∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). Selain itu, pertidaksamaan ini dapat ditulis ulang menjadi ( X 2 – 3X) catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2 dan bagi dengan ekspresi positif X 2 – 3X. Kami mendapatkan log 2 ( X + 1) ≤ –1, X + 1 ≤ 2 –1 , X≤ 0,5 –1 atau X≤ –0,5. Dengan mempertimbangkan domain definisi, kita punya X ∈ (–1; –0,5].

3) Terakhir, mari kita pertimbangkan X 2 – 3X < 0, при этом X∈ (0; 3). Dalam hal ini, pertidaksamaan awal akan ditulis ulang menjadi (3 X – X 2) catatan 2 ( X + 1) ≤ 3X – X 2. Setelah dibagi dengan positif 3 X – X 2 , kita mendapatkan log 2 ( X + 1) ≤ 1, X + 1 ≤ 2, X≤ 1. Dengan mempertimbangkan wilayah yang kita miliki X ∈ (0; 1].

Menggabungkan solusi yang diperoleh, kita memperoleh X ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Menjawab: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Tugas No.16- Tingkat lanjutan mengacu pada tugas-tugas di bagian kedua dengan jawaban terperinci. Tugas tersebut menguji kemampuan melakukan tindakan dengan bentuk geometris, koordinat, dan vektor. Tugas tersebut berisi dua poin. Poin pertama tugasnya harus dibuktikan, dan poin kedua harus dihitung.

Pada segitiga sama kaki ABC dengan sudut 120°, garis bagi BD digambar di titik sudut A. Persegi panjang DEFH terdapat pada segitiga ABC sehingga sisi FH terletak pada ruas BC, dan titik sudut E terletak pada ruas AB. a) Buktikan bahwa FH = 2DH. b) Hitunglah luas persegi panjang DEFH jika AB = 4.

Larutan: A)

1) ΔBEF – persegi panjang, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°): 2 = 30°, maka EF = BE berdasarkan sifat kaki yang berhadapan dengan sudut 30°.

2) Misalkan EF = DH = X, maka MENJADI = 2 X, BF = X√3 menurut teorema Pythagoras.

3) Karena ΔABC sama kaki, maka ∠B = ∠C = 30˚.

BD adalah garis bagi ∠B, artinya ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Misalkan ΔDBH – persegi panjang, karena DH⊥BC.

2X	=	4 – 2X
2X(√3 + 1)		4

1	=	2 – X
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – X

X = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED EF = (3 – √3 ) 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Menjawab: 24 – 12√3.

Tugas No.17- tugas dengan jawaban rinci, tugas ini menguji penerapan pengetahuan dan keterampilan dalam kegiatan praktek dan kehidupan sehari-hari, kemampuan membangun dan mengeksplorasi model matematika. Tugas ini merupakan soal teks dengan muatan ekonomi.

Contoh 17. Setoran 20 juta rubel rencananya akan dibuka selama empat tahun. Pada setiap akhir tahun, bank meningkatkan simpanannya sebesar 10% dibandingkan ukurannya pada awal tahun. Selain itu, pada awal tahun ketiga dan keempat, investor setiap tahun mengisi kembali depositnya sebesar X juta rubel, di mana X - utuh nomor. Temukan nilai terbesar X, di mana bank akan memperoleh kurang dari 17 juta rubel pada deposito selama empat tahun.

Larutan: Pada akhir tahun pertama, kontribusinya akan menjadi 20 + 20 · 0,1 = 22 juta rubel, dan pada akhir tahun kedua - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 juta rubel. Pada awal tahun ketiga, kontribusinya (dalam juta rubel) akan menjadi (24,2 + X), dan pada akhirnya - (24.2+ X) + (24,2 + X)· 0,1 = (26,62 + 1,1 X). Pada awal tahun keempat kontribusinya adalah (26,62 + 2,1 X), dan pada akhirnya - (26.62 + 2.1 X) + (26,62 + 2,1X) 0,1 = (29,282 + 2,31 X). Dengan syarat, Anda perlu mencari bilangan bulat x terbesar yang memenuhi pertidaksamaan tersebut

(29,282 + 2,31X) – 20 – 2X < 17

29,282 + 2,31X – 20 – 2X < 17

0,31X < 17 + 20 – 29,282

0,31X < 7,718

X <	7718
	310

X <	3859
	155

X < 24	139
	155

Solusi bilangan bulat terbesar dari pertidaksamaan ini adalah angka 24.

Menjawab: 24.

Tugas No.18- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban yang terperinci. Tugas ini dimaksudkan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi bukanlah tugas yang menggunakan satu metode penyelesaian, tetapi pada kombinasi berbagai metode. Untuk berhasil menyelesaikan tugas 18, selain pengetahuan matematika yang kuat, juga diperlukan budaya matematika yang tinggi.

Pada apa A sistem ketidaksetaraan

	X 2 + kamu 2 ≤ 2ay – A 2 + 1
	kamu + A ≤ |X| – A

memiliki tepat dua solusi?

Larutan: Sistem ini dapat ditulis ulang dalam bentuk

	X 2 + (kamu– A) 2 ≤ 1
	kamu ≤ |X| – A

Jika kita menggambar himpunan penyelesaian pertidaksamaan pertama pada bidang datar, kita memperoleh bagian dalam lingkaran (yang berbatas) berjari-jari 1 dan berpusat di titik (0, A). Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kedua adalah bagian bidang yang terletak di bawah grafik fungsi kamu = | X| – A, dan yang terakhir adalah grafik fungsinya
kamu = | X| , digeser ke bawah sebesar A. Penyelesaian sistem ini adalah perpotongan himpunan penyelesaian setiap pertidaksamaan.

Akibatnya, sistem ini akan memiliki dua solusi hanya dalam kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 1.

Titik potong lingkaran dan garis merupakan dua penyelesaian sistem. Setiap garis lurus miring terhadap sumbu dengan sudut 45°. Jadi itu segitiga PQR– persegi panjang sama kaki. Dot Q memiliki koordinat (0, A), dan intinya R– koordinat (0, – A). Selain itu, segmennya PR Dan PQ sama dengan jari-jari lingkaran sama dengan 1. Artinya

Qr= 2A = √2, A =	√2	.
	2

Menjawab: A =	√2	.
	2

Tugas No.19- tugas dengan tingkat kerumitan yang meningkat dengan jawaban yang terperinci. Tugas ini dimaksudkan untuk seleksi kompetitif ke universitas dengan peningkatan persyaratan untuk persiapan matematika pelamar. Tugas dengan tingkat kompleksitas yang tinggi bukanlah tugas yang menggunakan satu metode penyelesaian, tetapi pada kombinasi berbagai metode. Agar berhasil menyelesaikan tugas 19, Anda harus dapat mencari solusi, memilih pendekatan yang berbeda dari pendekatan yang diketahui, dan memodifikasi metode yang dipelajari.

Membiarkan sn jumlah P suku barisan aritmatika ( sebuah hal). Diketahui bahwa S n + 1 = 2N 2 – 21N – 23.

a) Berikan rumusnya P jangka waktu perkembangan ini.

b) Temukan jumlah absolut terkecil S n.

c) Temukan yang terkecil P, di mana S n akan menjadi kuadrat dari bilangan bulat.

Larutan: a) Jelas sekali sebuah = S n – S n- 1 . Dengan menggunakan rumus ini, kita mendapatkan:

S n = S (N – 1) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 1) – 23 = 2N 2 – 25N,

S n – 1 = S (N – 2) + 1 = 2(N – 1) 2 – 21(N – 2) – 23 = 2N 2 – 25N+ 27

Cara, sebuah = 2N 2 – 25N – (2N 2 – 29N + 27) = 4N – 27.

B) Sejak S n = 2N 2 – 25N, lalu pertimbangkan fungsinya S(X) = | 2X 2 – 25x|. Grafiknya dapat dilihat pada gambar.

Jelasnya, nilai terkecil dicapai pada titik bilangan bulat yang terletak paling dekat dengan nol dari fungsi tersebut. Jelas ini adalah poinnya X= 1, X= 12 dan X= 13. Karena, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S(13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, maka nilai terkecilnya adalah 12.

c) Dari paragraf sebelumnya berikut ini sn positif, dimulai dari N= 13. Sejak S n = 2N 2 – 25N = N(2N– 25), maka kasus yang jelas, ketika ekspresi ini adalah kuadrat sempurna, terwujud ketika N = 2N– 25, yaitu pada P= 25.

Tetap memeriksa nilai dari 13 hingga 25:

S 13 = 13 1, S 14 = 14 3, S 15 = 15 5, S 16 = 16 7, S 17 = 17 9, S 18 = 18 11, S 19 = 19 13, S 20 = 20 13, S 21 = 21 17, S 22 = 22 19, S 23 = 23 21, S 24 = 24 23.

Ternyata untuk nilai yang lebih kecil P kuadrat lengkap tidak tercapai.

Menjawab: A) sebuah = 4N– 27; b) 12; c) 25.

________________

*Sejak Mei 2017, grup penerbitan bersatu "DROFA-VENTANA" telah menjadi bagian dari perusahaan Buku Teks Rusia. Korporasi juga mencakup penerbit Astrel dan platform pendidikan digital LECTA. Alexander Brychkin, lulusan Akademi Keuangan di bawah Pemerintah Federasi Rusia, Kandidat Ilmu Ekonomi, kepala proyek inovatif penerbit DROFA di bidang pendidikan digital (buku teks bentuk elektronik, Sekolah Elektronik Rusia, platform pendidikan digital LECTA) diangkat sebagai Direktur Jenderal. Sebelum bergabung dengan penerbit DROFA, beliau menjabat sebagai wakil presiden untuk pengembangan strategis dan investasi di penerbit EKSMO-AST. Saat ini, perusahaan penerbitan Buku Teks Rusia memiliki portofolio buku teks terbesar yang termasuk dalam Daftar Federal - 485 judul (sekitar 40%, tidak termasuk buku teks untuk sekolah luar biasa). Penerbit korporasi memiliki kumpulan buku teks paling populer di sekolah-sekolah Rusia dalam bidang fisika, menggambar, biologi, kimia, teknologi, geografi, astronomi - bidang pengetahuan yang diperlukan untuk pengembangan potensi produktif negara. Portofolio korporasi meliputi buku pelajaran dan alat peraga untuk sekolah dasar, yang dianugerahi Penghargaan Presiden di bidang pendidikan. Ini adalah buku teks dan manual dalam bidang studi yang diperlukan untuk pengembangan potensi ilmiah, teknis dan produksi Rusia.

• Pemenang mutlak kompetisi All-Rusia “Guru Tahun Ini di Rusia - 2007”.
• Pekerja Kehormatan Pendidikan Federasi Rusia
• Pemenang dua kali kompetisi untuk guru terbaik Federasi Rusia dari Kementerian Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Federasi Rusia
• Anggota Komisi Federal untuk Pengembangan Bahan Pengujian dan Pengukuran untuk USE dalam Matematika (2009-2010), ahli dari Komisi Subjek Federal USE dalam Matematika (2011-2012, 2013-2014), Deputi Ketua Komisi Mata Pelajaran Daerah Akademi Matematika Negeri 2012-2014).

Olga Sergeevna Pyankova, guru matematika sekolah, Elekmonar Dmitry Dmitrievich yang terhormat dan tim proyek “DAEGE”!
Terima kasih telah menciptakan sumber daya online yang luar biasa untuk membantu para guru. Sekarang saya memiliki kesempatan untuk melakukan pembelajaran, konsultasi, dan kelas tambahan menggunakan video tutorial detail. Pelajaran Anda disusun dengan kompeten, dipikirkan dengan detail terkecil. Dan “kehadiran” Dmitry Dmitrievich dalam pelajaran memberi saya kepercayaan diri, membuat pelajaran saya lebih menarik dan bermakna. Dengan menggunakan tes, catatan, dan video, saya melihat bahwa waktu untuk mempersiapkan pelajaran matematika dan konsultasi berkurang secara signifikan. Lagi pula, tidak perlu menyiapkan tugas untuk tes dan kerja mandiri, atau menyusun tes. Ambil saja ringkasan yang sudah jadi untuk setiap pelajaran, pekerjaan rumah berdasarkan basis tugas Ujian Negara Bersatu dengan sistem verifikasi, tes dan gunakan!!!
Pekerjaan Anda sangat berharga!!! Terima kasih lagi!

Lepikhina Olga Viktorovna, guru matematika, Izhevsk Saya mengikuti kursus "DAEGE", menonton beberapa video, mengikuti beberapa tes dan tes. Materi yang sangat berguna dan diperlukan, video tutorial dengan penjelasan detail dan yang terpenting tes dengan mode pengujian online. Siswa menyukai ini karena mereka dapat langsung melihat hasilnya dan menangkap kesalahan. Sangat berguna bahwa sebelum setiap tes ada tinjauan tugas dan Anda dapat menonton video sebanyak yang dibutuhkan siswa - dengan cara Anda sendiri. Anda memiliki tim luar biasa yang berusaha membuat pekerjaan guru lebih mudah dan membantu guru bekerja dengan semua kategori siswa.

Ksenia Vladimirovna, guru matematika, Izhevsk Sekilas memang sangat mengesankan, dari segi volume dan kualitas.
Ini merupakan bantuan yang serius bagi anak-anak pedesaan, serta bagi mereka yang kurang beruntung dengan seorang guru...
ide yang sangat bagus: untuk dapat membeli aktivitas yang Anda minati, dan bukan semuanya
Dan saya juga puas dengan harganya...
Terima kasih!

Maisuradze Victoria Vladimirovna, guru matematika, Mezhdurechensk Terima kasih banyak kepada Dmitry Dmitrievich atas semua yang dia lakukan. Situs webnya Saya akan menyelesaikan Ujian Negara Bersatu dan sumber daya ini adalah penyelamat saat bekerja.
Dengan beban kerja saat ini, sama sekali tidak ada waktu untuk melakukan apa pun selain memeriksa buku catatan. Hanya sumber daya seperti itu yang bisa menghemat. Terima kasih.

Egorova Victoria Valerievna, guru matematika, Elabuga Tidak ada kata-kata untuk mengungkapkan rasa terima kasih saya. Materi yang sangat, sangat luar biasa, saya bahkan menyebutnya sebagai kompleks pendidikan dan metodologis. Semua materi disistematisasikan secara ketat dan disajikan untuk hampir semua tugas ujian. Ada pengulangan, materi teori yang diperlukan, tugas tes, dan bahkan tes untuk satu blok pelajaran. Saya benar-benar ingin menemukan tempat untuk semua ini dalam pelajaran saya.

Nasibullina Zulfiya Salavatovna, guru matematika, Maloyaz Setelah melihat situs web Daege, saya yakin bahwa di sini Anda dapat menyelesaikan tes online bersama siswa. Saya menyarankan situs web dan nama kursus Anda kepada siswa saya. Saya pikir kami akan bekerja secara aktif dengan situs ini. Sebelumnya, kami secara aktif menggunakan situs Saya akan MENYELESAIKAN Ujian Negara Bersatu, Saya akan Menyelesaikan OGE. Kami mengambil tes dari sana dan juga menyelesaikannya secara online. Terima kasih kepada pembuat situs yang telah membantu guru dan siswa, karena tidak semua orang memiliki kesempatan untuk mengikuti kursus atau belajar dengan tutor.

Anna Karo, murid Terima kasih untuk proyek yang menarik. Sangat membantu!
Terutama di hari-hari terakhir sebelum Ujian Negara Bersatu :) Sistem luar biasa untuk hasil luar biasa.

Surina Zoya Petrovna, guru matematika, Moskow Rekan-rekan yang terhormat! Terima kasih atas materinya yang menarik dan informatif.
Saya menganggap kursus persiapan Ujian Negara Bersatu dalam matematika dapat diakses, singkat, rasional dan bermanfaat.
Saya berharap pemecahan masalah yang lebih kompleks dapat dimengerti dan menarik bagi para lulusan.

Kultysheva Olga Valerievna, guru matematika, Saratov Halo! Saya telah menggunakan situs Anda selama beberapa tahun sekarang, baik ketika mempersiapkan Ujian Negara Bersatu di kelas 10-11, dan ketika mempelajari topik di kelas mulai dari 5. Ketika saya melihat bahwa saya dapat mendaftar untuk kursus “DAEGE”, Saya memutuskan untuk mencobanya. Saya berkenalan dengan kursus tersebut. Saya sangat menyukainya. Akan menyenangkan jika kursus ini selalu tersedia. Terima kasih!

Busova I.I., guru matematika, Novosibirsk Selamat siang rekan-rekan!
Sumber daya yang luar biasa dan bermanfaat!!!
Pelajarannya dikerjakan dengan cermat, semuanya kompeten, jelas, konsisten, rinci dan jelas. Materi pendidikan disistematisasikan secara ketat. Kursus ini sangat membantu bagi siswa dan guru. Terima kasih banyak!!!