V procese štúdia matematiky sa mnohí školáci a študenti stretávajú s konštrukciou rôznych grafov, najmä parabol. Paraboly sú jedným z najbežnejších grafov používaných v mnohých kontrolných, overovacích a testovacích prácach. Znalosť najjednoduchších návodov na ich konštrukciu vám preto výrazne pomôže.

Budete potrebovať

• - Pravítko a ceruzka;
• - kalkulačka.

Inštrukcie

• Na začiatok nakreslite súradnicové osi na kus papiera: súradnicovú os a súradnicovú os. Podpíšte ich. Potom pracujte na tejto kvadratickej funkcii. Malo by to byť takto: y=ax^2+bx+c. Najpopulárnejšia funkcia je y=x^2, takže ju možno použiť ako príklad.
• Po vykreslení osí nájdite súradnice vrcholu vašej paraboly. Ak chcete nájsť súradnicu pozdĺž osi X, dosaďte známe údaje do tohto vzorca: x=-b/2a, pozdĺž osi Y - dosaďte výslednú hodnotu argumentu do funkcie. V prípade funkcie y=x^2 sa súradnice vrcholu zhodujú s počiatkom, t.j. v bode (0;0), keďže hodnota premennej b je 0, preto x=0. Dosadením hodnoty x do funkcie y=x^2 nie je ťažké nájsť jej hodnotu - y=0.
• Po nájdení vrcholu sa rozhodnite pre smer vetiev paraboly. Ak je koeficient a zo zápisu funkcie v tvare y=ax^2+bx+c kladný, potom vetvy paraboly smerujú nahor, ak záporné - nadol. Graf funkcie y=x^2 smeruje nahor, pretože koeficient a je rovný jednej.
• Ďalším krokom je výpočet súradníc bodov paraboly. Ak ich chcete nájsť, dosaďte do hodnoty argumentu číslo a vypočítajte hodnotu funkcie. Na zostavenie grafu stačia 2-3 body. Pre väčšie pohodlie a prehľadnosť nakreslite tabuľku s hodnotami funkcie a argumentu. Tiež nezabudnite, že parabola je symetrická, preto uľahčuje proces vytvárania grafu. Najčastejšie používané body paraboly y=x^2 sú (1;1), (-1;1) a (2;4), (-2;4).
• Po nakreslení bodov v rovine súradníc ich spojte hladkou čiarou, čím získate zaoblené tvary. Neukončujte graf v horných bodoch, ale ho predlžujte, pretože parabola je nekonečná. Nezabudnite podpísať graf na výkrese a tiež napíšte potrebné súradnice na osi, inak to môže byť považované za chybu a bude odpočítaný určitý počet bodov.

Elipsa. Ak vyrežete povrch kruhového kužeľa naklonenou rovinou R tak, že pretína všetky jeho generátory, potom sa v rovine rezu získa elipsa (obrázok 65).

Obrázok 65

Elipsa(Obrázok 66) – plochá uzavretá krivka, v ktorej súčet vzdialeností od ktoréhokoľvek z jej bodov (napr. od bodu M ) do dvoch uvedených bodov F 1 A F 2 – ohniská elipsy – tam je konštantná hodnota rovnajúca sa dĺžke jej hlavnej osi AB (Napríklad, Ž 1 M + F2M = AB ).Úsečka AB sa nazýva hlavná os elipsy a segment CD – jeho vedľajšia os. Osi elipsy sa pretínajú v bode O- stred elipsy a jeho veľkosť určuje dĺžky hlavnej a vedľajšej osi. Body F 1 A F 2 umiestnený na hlavnej osi AB symetrické podľa bodu O a sú odstránené z koncov vedľajšej osi (body S A D ) do vzdialenosti rovnajúcej sa polovici hlavnej osi elipsy .

Obrázok 66

Existuje niekoľko spôsobov, ako vytvoriť elipsu. Najjednoduchšie je zostrojiť elipsu pozdĺž jej dvoch osí pomocou pomocných kružníc (obrázok 67). V tomto prípade je určený stred elipsy - bod O a cez ňu sú nakreslené dve navzájom kolmé priame čiary (obrázok 67, a). Od veci O opísať dve kružnice s polomermi rovnými polovici hlavnej a vedľajšej osi. Veľký kruh je rozdelený na 12 rovnakých častí a deliace body sú spojené s bodom O . Nakreslené čiary tiež rozdelia menší kruh na 12 rovnakých častí. Potom sa cez deliace body menšieho kruhu nakreslia vodorovné čiary (alebo rovné čiary rovnobežné s hlavnou osou elipsy) a cez body rozdelenia sa nakreslia zvislé čiary (alebo rovné čiary rovnobežné s vedľajšou osou elipsy). väčšieho kruhu. Body ich priesečníkov (napríklad bod M ) patrí do elipsy. Spojením výsledných bodov s hladkou krivkou sa získa elipsa (obrázok 67, b).

Obrázok 67

Parabola. Ak je kruhový kužeľ vyrezaný rovinou R , rovnobežne s jednou z jeho tvoriacich osi, potom sa v rovine rezu získa parabola (obrázok 68).

Obrázok 68

Parabola(Obrázok 69) – plochá krivka, ktorej každý bod je rovnako vzdialený od danej priamky DD 1 , volal riaditeľka, a body F – ohnisko paraboly. Napríklad za bod M segmentov MN (vzdialenosť k riaditeľke) a M.F. (vzdialenosť k ohnisku) sú rovnaké, t.j. MN = M.F. .

Parabola má tvar otvorenej krivky s jednou osou symetrie, ktorá prechádza ohniskom paraboly - bodom F a je umiestnená kolmo na riaditeľa DD 1 .Presné A , ležiaci v strede segmentu OF , volal vrchol paraboly. Vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru - segment OF = 2´OA – označené písmenom R a zavolajte parameter paraboly. Čím väčší je parameter R , tým prudšie sa vetvy paraboly vzďaľujú od jej osi. Segment uzavretý medzi dvoma bodmi paraboly umiestnenými symetricky vzhľadom na os paraboly sa nazýva akord(napríklad akord MK ).

Obrázok 69

Zostrojenie paraboly z jej smerovej čiary DD 1 a ohniska F(Obrázok 70, a) . Cez bod F nakreslite os paraboly kolmo na smerovú čiaru, kým nepretne smernicu v bode O. Segment čiary OF = p rozdeliť na polovicu a získať bod A – vrchol paraboly. Na osi bodovej paraboly A stanoviť niekoľko postupne sa zväčšujúcich úsekov. Cez deliace body 1, 2, 3 to. D. nakreslite rovné čiary rovnobežné so smerovou čiarou. Berúc ohnisko paraboly ako stred, opisujú oblúky s polomerom R1 = L1 1 ,polomer R2 = L2 kým nepretína priamku cez bod 2 , atď. Výsledné body patria do paraboly. Najprv sú ručne spojené tenkou hladkou čiarou a potom sa obkresľujú pozdĺž vzoru.

Konštrukcia paraboly pozdĺž jej osi, vrchol A a stredný bod M(Obrázok 70, b).Cez hornú časť A nakreslite priamku kolmú na os paraboly a cez bod M – priamka rovnobežná s osou. Obe čiary sa pretínajú v jednom bode B . Segmenty AB A B.M. sú rozdelené na rovnaký počet rovnakých častí a deliace body sú očíslované v smeroch označených šípkami. Cez vrchol A a bodky 1 , 2 , 3 , 4 viesť lúče a z bodov ja , II , III ,IV – priamky rovnobežné s osou paraboly. Na priesečníku čiar označených rovnakým číslom sú body patriace do paraboly. Obe vetvy paraboly sú rovnaké, takže ďalšia vetva je postavená symetricky k prvej pomocou akordov.

Obrázok 70

Zostrojenie paraboly dotyčnice k dvom priamkam OA a OB v bodoch A a B na nich uvedených(Obrázok 71, b). Segmenty O.A. A OB rozdelené na rovnaký počet rovnakých častí (napríklad na 8 častí). Výsledné deliace body sú očíslované a body s rovnakým názvom sú spojené rovnými čiarami. 1–1 , 2 –2 , 3 –3 atď . d . Tieto čiary sa dotýkajú parabolickej krivky. Ďalej sa do obrysu tvoreného priamkami vpíše hladká dotyčnica krivka – parabola. .

Obrázok 71

Hyperbola. Ak vyrežete priamy a spätný kužeľ rovinou rovnobežnou s jeho dvoma tvoriacimi priamkami alebo v konkrétnom prípade rovnobežnou s osou, potom v rovine rezu dostanete hyperbolu pozostávajúcu z dvoch symetrických vetiev (obrázok 72, a).

Hyperbola(Obrázok 72, b) sa nazýva krivka otvorenej roviny, ktorá je množinou bodov, rozdiel vzdialeností od dvoch daných bodov je konštantná hodnota.

Obrázok 72

Konštantné body F 1 A F 2 sa volajú triky , a vzdialenosť medzi nimi je ohnisková vzdialenosť . Segmenty čiar ( Ž 1 M A F 2 M ), pripojenie akéhokoľvek bodu ( M ) krivka s ohniskami sú tzv polomerové vektory hyperboly . Rozdiel medzi bodovou a ohniskovou vzdialenosťou F 1 A F 2 je konštantná hodnota a rovná sa vzdialenosti medzi vrcholmi A A b hyperbola; napríklad za bod M bude mať: F1M -F2M = ab. Hyperbola pozostáva z dvoch otvorených vetiev a má dve vzájomne kolmé osi - platné AB A imaginárny CD. Priamy pq A rs, prechádzajúci cez centrum O ,sa volajú asymptoty .

Zostrojenie hyperboly pomocou týchto asymptot pq A rs, triky F 1 A F 2 znázornené na obrázku 72, b.

Skutočná os AB hyperbola je stred uhla, ktorý zvierajú asymptoty. Pomyselná os CD kolmý AB a prechádza cez bod O. Mať triky F 1 A F2, definujte vrcholy A A b hyperboly, prečo na segmente Ž 1 Ž 2 zostrojte polkruh, ktorý pretína asymptoty v bodoch m A P. Z týchto bodov sa kolmice spúšťajú na os AB a na priesečníku s ním dostaneme vrcholy A A b hyperbola.

Zostrojiť pravú vetvu hyperboly na priamke AB napravo od zaostrenia F 1 označiť ľubovoľné body 1 , 2 , 3 , ..., 5. Body V A V1 hyperboly získame, ak vezmeme segment a5 za polomerom a z bodu F2 nakreslite oblúk kruhu, ktorý je vyznačený z bodu F 1, polomer rovný b5. Zostávajúce body hyperboly sú skonštruované analogicky s tými, ktoré sú opísané.

Niekedy musíte zostrojiť hyperbolu, ktorej asymptoty OH A OY vzájomne kolmé (obrázok 73). V tomto prípade budú skutočné a imaginárne osi bis s ektrice pravých uhlov. Na zostrojenie je určený jeden z bodov hyperboly, napríklad bod A.

Obrázok 73

Cez bod A vykonávať priamo AK A A.M. , rovnobežne s osami Oh A ou .Z bodu O re s koncepcie o s dávajú jej priamu s rovné čiary A.M. A AK v bodoch 1 , 2 , 3 , 4 A 1" , 2" , 3" , 4" . Ďalej sa z priesečníkov s týmito čiarami nakreslia zvislé a vodorovné segmenty, až kým sa navzájom nepretínajú v bodoch I, II, III, IV atď. Výsledné body hyperboly sú spojené pomocou vzoru . Body 1, 2, 3, 4 umiestnené na zvislej čiare sa berú ľubovoľne .

Evolventa kruhu alebo rozvoj kruhu. Evolventa kruhu sa nazýva plochá krivka, ktorá je opísaná každým bodom priamky, ak sa táto priamka valí bez kĺzania po stacionárnej kružnici (dráha bodov kružnice vytvorenej jej rozvinutím a narovnaním) (obrázok 74).

Na konštrukciu evolventy stačí určiť priemer kružnice D a počiatočná poloha bodu A (bod A 0 ). Cez bod A 0 nakreslite ku kružnici dotyčnicu a nakreslite na ňu dĺžku danej kružnice D . Výsledný segment a kruh sú rozdelené na rovnaký počet častí a dotyčnice k nemu sú nakreslené v jednom smere cez deliace body kruhu. Na každej dotyčnici sa položia segmenty prevzaté z vodorovnej čiary a zodpovedajúcim spôsobom rovnaké 1A1 = A01 , 2A 2 = VA 0 2 , 3A3 = A03 atď.; Výsledné body sú spojené podľa vzoru.

Obrázok 74

Archimedova špirála- plochá krivka opísaná bodom A rovnomerne rotujúce okolo pevného bodu – palice O a zároveň sa od nej rovnomerne vzďaľovať (obrázok 75). Vzdialenosť prejdená bodom pri otočení priamky o 360° sa nazýva stúpanie špirály. Body patriace do Archimedovej špirály sú konštruované na základe definície krivky, špecifikujúcej krok a smer rotácie.

Konštrukcia Archimedovej špirály s použitím daného stúpania (segmentu OA) a smeru otáčania v smere hodinových ručičiek(Obrázok 75).Cez bod O nakreslite rovnú čiaru a vyznačte na nej stúpanie špirály O.A. a ak to vezmeme ako polomer, opíšte kruh. Kruh a segment O.A. rozdelené na 12 rovnakých častí. Polomery sú nakreslené cez deliace body kruhu O1 , O2 , O3 atď a na nich z bodu O sú položené pomocou oblúkov, v tomto poradí, 1/12, 2/12, 3/12 atď., polomeru kruhu. Výsledné body sú spojené pozdĺž vzoru s hladkou krivkou.

Archimedova špirála je otvorená krivka a v prípade potreby môžete zostrojiť ľubovoľný počet jej závitov. Na zostrojenie druhého obratu opíšte kružnicu s polomerom R = 2 OA a zopakujte všetky predchádzajúce konštrukcie.

Obrázok 75

Sínusoida.Sínusoida sa nazýva projekcia trajektórie pohybu bodu s Som cylindrický s ktorá špirála, v rovine rovnobežnej s osou valca . Pohyb bodu pozostáva z rovnomerného rotačného pohybu (okolo osi valca) a rovnomerného translačného pohybu (paralelného s osou valca) . Sínusová vlna je plochá krivka, ktorá ukazuje zmenu trigonometrickej sínusovej funkcie v závislosti od zmeny uhla .

Na vytvorenie sínusoidy (Obrázok 76) cez stred O priemer kruhu D vykonávať priamo OH a na ňu je položený segment O 1 A , rovná obvodu D. Tento segment a kruh sú rozdelené na rovnaký počet rovnakých častí. Zo získaných a očíslovaných bodov sa nakreslia vzájomne kolmé priamky. Výsledné priesečníky týchto čiar sú spojené pomocou vzoru hladkých kriviek.

Obrázok 76

Kardioidný. Kardioidný(Obrázok 77) volania s Som uzavretá trajektória bodu v kruhu s ktorý sa valí bez skĺznutia po stacionárnom kruhu s rovnakým polomerom .

Obrázok 77

Z centra O nakreslite kružnicu daného polomeru a zoberte na ňu ľubovoľný bod M. Cez tento bod je nakreslený rad sečanov. Na každom sečne, na oboch stranách jeho priesečníka s kruhom, sú položené segmenty rovné priemeru kruhu M1. Áno, sekt III3MIII 1 pretína kružnicu v bode 3 ;segmenty sú od tohto bodu prepustené 3III A 3III 1, rovný priemeru M1. Body III A III 1 , patria medzi kardioidné . podobne, s prúd IV4MIV 1 re s kruh v bode 4; segmenty sa kladú od tohto bodu IV4 A 4IV 1, rovný priemeru M1, získať body IV A IV 1 atď.

Nájdené body sú spojené krivkou, ako je znázornené na obrázku 77.

Cykloidné krivky. Cykloidy – rovinné zakrivené čiary opísané bodom patriacim do kruhu, ktorý sa valí bez skĺznutia po priamke alebo kruhu . Ak sa kružnica valí po priamke, tak bod opisuje krivku tzv cykloid.

Ak sa kružnica valí po inej kružnici, ktorá je mimo nej (pozdĺž konvexnej časti), potom bod opisuje krivku tzv. epicykloida .

Ak sa kruh valí pozdĺž iného kruhu, ktorý je v ňom (pozdĺž konkávnej časti), potom bod opisuje krivku tzv. hypocykloida . Kružnica, na ktorej sa bod nachádza, sa nazýva vyrábajúce . Čiara, po ktorej sa kruh valí, sa nazýva sprievodca .

Zostrojiť cykloidu(Obrázok 78) nakreslite kružnicu daného polomeru R ; vezmite si na ňom východiskový bod A a nakreslite vodiacu čiaru AB, po ktorom sa kruh valí .

Obrázok 78

Rozdeľte daný kruh na 12 rovnakých častí (bodov 1" , 2" , 3" , ..., 12"). Ak bod A zmeniť s sýkorka s Som v pozícii A 12 , potom segment AA 12 sa bude rovnať danej obvodovej dĺžke s ty, t.j. Nakreslite stredovú čiaru O – O 12 vyrábajúce po obvode s ti, rovný , a rozdelíme na 12 rovnakých častí. Získajte body O 1 ,O2 ,O 3 ,..., O 12 , čo sú stredy tvoriacej kružnice s vy . Z týchto bodov nakreslite v kruhu s ty (alebo oblúky okolo s tey) daného polomeru R , ktoré sa dotýkajú čiary AB v bodoch 1,2, 3, ..., 12. Ak z každého bodu dotyku nakreslíme na príslušnú kružnicu dĺžku oblúka rovnajúcu sa veľkosti, o ktorú sa bod posunul A , potom získame body patriace do cykloidy. Napríklad získať bod A 5 zo stredu vyplývajú cykloidy O 5 nakreslite kruh z bodu dotyku 5 položiť oblúk po obvode A5, rovná A5", alebo z bodu 5" nakreslite rovnobežnú čiaru AB, ku križovatke v bode A 5 s nakresleným kruhom . Všetky ostatné body cykloidy sú konštruované podobne. .

Epicykloida je konštruovaná nasledovne. Obrázok 79 zobrazuje polomer generovania kruhu s A R so stredom O 0 , štartovací bod A na ňom a oblúkom sprievodcu okolo s ty rádio s A R 1 po ktorej sa valí s Ja som kruh. Konštrukcia epicykloidy je podobná konštrukcii cykloidy, a to: rozdeliť daný kruh na 12 rovnakých častí (bodov 1" , 2" , 3" , ...,12"), každá časť tohto kruhu je odsunutá od bodu A po oblúku AB 12-krát (bodky 1 , 2 , 3 , ..., 12) a získajte dĺžku oblúka AA 12 . Túto dĺžku je možné určiť pomocou uhla .

Ďalej od centra O polomer rovný OOO 0 , nakreslite čiaru stredov tvoriacej kružnice a nakreslite polomery 01 , 02 , 03 , ...,012 , pokračovali, kým sa nepretnú s čiarou stredov, získajte stredy O 1, O 2, ..., O 12 generujúci kruh . Z týchto stredov s polomerom rovným R , kresliť kružnice alebo oblúky kružníc, na ktorých stavajú a s ktoré body krivky; Takže, aby som pochopil pointu A 4 s treba skontrolovať s oblúk okolo s polomer tee O4" kým sa nepretne s kruhom nakresleným zo stredu O4. Podobne sú konštruované aj ďalšie body, ktoré sú potom spojené hladkou krivkou .

Obrázok 79

Súvisiace informácie.

Lekcia: Ako zostrojiť parabolu alebo kvadratickú funkciu?

TEORETICKÁ ČASŤ

Parabola je graf funkcie opísanej vzorcom ax 2 +bx+c=0.
Ak chcete vytvoriť parabolu, musíte postupovať podľa jednoduchého algoritmu:

1) Vzorec paraboly y=ax 2 +bx+c,
Ak a>0 potom smerujú vetvy paraboly hore,
inak smerujú vetvy paraboly dole.
Voľný člen c tento bod pretína parabolu s osou OY;

2), zistí sa podľa vzorca x=(-b)/2a, nájdené x dosadíme do rovnice paraboly a nájdeme r;

3)Funkčné nuly alebo inými slovami, priesečníky paraboly s osou OX, nazývajú sa tiež korene rovnice. Aby sme našli korene, prirovnáme rovnicu k 0 ax 2 + bx + c = 0;

Typy rovníc:

a) Úplná kvadratická rovnica má tvar ax 2 + bx + c = 0 a rieši ho diskriminant;
b) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + bx = 0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0:
ax 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 a ax+b=0;
c) Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 + c = 0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a);

4) Nájdite niekoľko ďalších bodov na konštrukciu funkcie.

PRAKTICKÁ ČASŤ

A tak teraz na príklade analyzujeme všetko krok za krokom:
Príklad č. 1:
y = x 2 + 4 x + 3
c=3 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=3. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor, pretože a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 vrchol je v bode (-2;-1)
Nájdite korene rovnice x 2 +4x+3=0
Pomocou diskriminantu nájdeme korene
a = 1 b = 4 c = 3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 = (-4+2)/2 = -1
x 2 = (-4-2)/2 = -3

Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x = -2

x-4-3-10
y 3 0 0 3

Namiesto x dosaďte do rovnice y=x 2 +4x+3 hodnoty
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)2+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2+4*(0)+3=0-0+3=3
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x = -2

Príklad č. 2:
y=-x2+4x
c=0 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=0. Vetvy paraboly sa pozerajú nadol, pretože a=-1 -1 Nájdime korene rovnice -x 2 +4x=0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0. Aby ste to vyriešili, musíte zo zátvoriek vyňať x a potom prirovnať každý faktor k 0.
x(-x+4)=0, x=0 a x=4.

Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Namiesto x dosadíme do rovnice y=-x 2 +4x hodnoty
y=02 +4*0=0
y=-(1)2+4*1=-1+4=3
y=-(3)2+4*3=-9+13=3
y=-(4)2+4*4=-16+16=0
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická vzhľadom na priamku x = 2

Príklad č.3
y=x2-4
c=4 znamená, že parabola pretína OY v bode x=0 y=4. Vetvy paraboly sa pozerajú nahor, pretože a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 vrchol je v bode (0;- 4)
Nájdite korene rovnice x 2 -4=0
Neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +c=0. Aby ste to vyriešili, musíte presunúť neznáme na jednu stranu a známe na druhú. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 = -2

Zoberme si niekoľko ľubovoľných bodov, ktoré sa nachádzajú v blízkosti vrcholu x=0
x -2 -1 1 2
y 0-3-3 0
Namiesto x dosaďte do rovnice y= x 2 -4 hodnoty
y=(-2)2-4=4-4=0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y=12-4=1-4=-3
y=22-4=4-4=0
Z funkčných hodnôt je zrejmé, že parabola je symetrická okolo priamky x = 0

Prihlásiť sa na odber na kanál na YOUTUBE držať krok so všetkými novými produktmi a pripravovať sa s nami na skúšky.

Aby sme zobrazili funkciu v pravouhlom súradnicovom systéme, potrebujeme dve kolmé čiary xOy (kde O je priesečník x a y), ktoré sa nazývajú "súradnicové osi" a potrebujeme mernú jednotku.

Bod v tomto systéme má dve súradnice.
M(x, y): M je názov bodu, x je úsečka a meria sa pomocou Ox a y je ordináta a meria sa pomocou Oy.

Ak vezmeme do úvahy funkciu f: A -> B (kde A je doména definície, B je rozsah hodnôt funkcie), potom bod na grafe tejto funkcie môže byť reprezentovaný v tvare P( x, f(x)).

Príklad
f:A -> B, f(x) = 3x - 1
Ak x = 2 => f(2) = 3×2 - 1 = 5 => P(2, 5) Gf (kde Gf je graf tejto funkcie).

Kvadratická funkcia

Štandardná forma: f(x) = ax 2 + bx + c

Vertexový tvar: $f(x)=(a+\frac(b)(2a))^2-\frac(\Delta)(4a)$
Kde A = b2-4ac

Ak a > 0, potom minimálna hodnota f(x) bude $-\frac(\Delta)(4a)$ , čo sa získa, ak $x=-\frac(b)(2a)$. Harmonogram bude konvexná parabola, ktorého vrchol (bod, v ktorom mení smer) je $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Ak< 0 , то минимальное значение f(x) bude $-\frac(\Delta)(4a)$ , čo sa získa, ak $x=-\frac(b)(2a)$. Harmonogram bude konkávna parabola, ktorého vrchol je $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

Parabola je symetrická vzhľadom na priamku, ktorú pretína $x=-\frac(b)(2a)$ a ktorá sa nazýva "os symetrie".
To je dôvod, prečo pri priraďovaní hodnôt X, potom ich vyberieme ako symetrické vzhľadom na $-\frac(b)(2a)$.
Pri vykresľovaní grafu sú veľmi dôležité priesečníky so súradnicovými osami.

|. Bod umiestnený na osi Vôl má tvar P(x, 0), pretože vzdialenosť od nej do Vôl rovná sa 0. Ak je bod tiež zapnutý Vôl a na grafe funkcie má aj tvar P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Aby sme teda našli súradnice priesečníka s osou Vôl, musíme vyriešiť rovnicu f(x)=0. Dostaneme rovnicu a 2 + bx + c = 0.

Riešenie rovnice závisí od znamienka A = b2-4ac.

Zvážme nasledujúce možnosti:

1) A< 0 ,
potom rovnica nemá žiadne riešenia R(množina reálnych čísel) a graf sa nepretína Vôl. Forma grafu bude:

2) A = 0,
potom má rovnica dve riešenia $x_1=x_2=-\frac(b)(2a)$
Graf sa dotýka osi Vôl na vrchole paraboly. Forma grafu bude:

3) A > 0,
potom má rovnica dve rôzne riešenia.

$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)$ a $x_2=\frac(-b+\sqrt(\Delta))(2a)$

Graf funkcie bude pretínať os Vôl v bodoch M (x 1 A Vôl. Forma grafu bude:

||. Bod umiestnený na osi Oj má tvar R(0; y), pretože vzdialenosť od Oj rovná sa 0 . Ak sa bod nachádza na Oj a na grafe funkcie má potom aj tvar R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

V prípade kvadratickej funkcie,
f(0) = a×02 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Nevyhnutné kroky na vykreslenie kvadratickej funkcie

f: R → R
f(x) = ax 2 + bx + c

1. Vytvoríme si tabuľku premenných, kde zadáme niektoré dôležité hodnoty X.

2. Vypočítajte súradnice vrcholu $V(-\frac(b)(2a);-\frac(\Delta)(4a))$.

3. Do tabuľky zapíšeme aj 0 a symetrické nulové hodnoty ​​$-\frac(b)(2a)$.

4. Určíme priesečník s osou Vôl, riešenie rovnice f(x)=0 a zapíšte si korene x 1 A x 2 v tabulke.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ dotyky grafu Vôl priamo na vrchole paraboly. Opäť vyberieme dve vhodné hodnoty, ktoré sú symetrické k $-\frac(b)(2a)$. Pre lepšie definovanie tvaru grafu môžeme zvoliť iné dvojice hodnôt X, ale musia byť symetrické $-\frac(b)(2a)$.

5. Tieto hodnoty vynesieme do súradnicového systému a vytvoríme graf spájajúci tieto body.

Príklad 1
f: R → R
f(x) = x 2 - 2 x - 3
a = 1, b = -2, c = -3

$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(2)=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(16)(4)=-4$

2. f(0) = -3
Symetrická hodnota 0 vzhľadom na 1 je 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 2x - 3 = 0
A = 16 > 0
$x_1=\frac(-b-\sqrt(\Delta))(2a)=\frac(2-4)(2)=-1$

$x_1=\frac(2+4)(2)=3$

Našli sme body:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

Graf bude vyzerať takto:

Príklad 2
f: R → R
f(x) = -x2 - 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b 2 – 4×a×c = (-2) 2 – 4×(-1)×8 = 36
$-\frac(b)(2a)=\frac(2)(-2)=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-36)(-4)=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (symetrická hodnota 0 vzhľadom na -1 je -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 - 2x + 8 = 0
A = 36
x 1 = 2 a x 2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Príklad 3
f: R → R
f(x) = x 2 - 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b 2 – 4×a×c = (-4) 2 – 4×1×4 = 0
$-\frac(b)(2a)=\frac(4)(2)=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (symetrická hodnota 0 vzhľadom na 2 je 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x 2 - 4x + 4 = 0
Δ = 0
x 1 = x 2 = $-\frac(b)(2a)$ = 2

A(-2; 9)
B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Príklad 4
f: R → R
f(x) = -x2 + 4x - 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b 2 – 4×a×c = 4 2 – 4×(-1)×(-5) = 16 – 20 = -4
$-\frac(b)(2a)=\frac(-4)(-2)=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac(\Delta)(4a)=-\frac(-4)(-4)=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (symetrická hodnota 0 vzhľadom na 2 je 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x 2 + 4x - 5 = 0, Δ< 0
Táto rovnica nemá riešenia. Zvolili sme symetrické hodnoty okolo 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Ak definičný obor nie je R (množina reálnych čísel), ale nejaký interval, potom vymažeme časť grafu, ktorá zodpovedá týmto hodnotám X, ktoré nie sú v tomto intervale. Koncové body intervalu musíte zaznamenať do tabuľky.

Príklad 5
f :)