Táto lekcia sa bude zaoberať témou „Rovnoramenný trojuholník a jeho vlastnosti“. Dozviete sa, ako vyzerajú rovnoramenné a rovnostranné trojuholníky a ako sú charakterizované. Dokážte vetu o rovnosti uhlov na základni rovnoramenného trojuholníka. Zvážte tiež vetu o stredovej osi (strednej a nadmorskej výške) nakreslenej k základni rovnoramenného trojuholníka. Na konci lekcie budete riešiť dve úlohy pomocou definície a vlastností rovnoramenného trojuholníka.

Definícia:Rovnoramenné sa nazýva trojuholník, ktorého dve strany sú rovnaké.

Ryža. 1. Rovnoramenný trojuholník

AB = AC - strany. BC - základ.

Plocha rovnoramenného trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho základne a výšky.

Definícia:Rovnostranný sa nazýva trojuholník, v ktorom sú všetky tri strany rovnaké.

Ryža. 2. Rovnostranný trojuholník

AB = BC = SA.

Veta 1: V rovnoramennom trojuholníku sú základné uhly rovnaké.

Vzhľadom na to: AB = AC.

dokázať:∠B =∠C.

Ryža. 3. Kreslenie pre vetu

dôkaz: trojuholník ABC = trojuholník ACB podľa prvého znamienka (dve rovnaké strany a uhol medzi nimi). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že všetky zodpovedajúce prvky sú rovnaké. To znamená ∠B = ∠C, čo je potrebné dokázať.

Veta 2: V rovnoramennom trojuholníku bisector pritiahnutý k základni je medián A výška.

Vzhľadom na to: AB = AC, ∠1 = ∠2.

dokázať:ВD = DC, AD kolmá na BC.

Ryža. 4. Kreslenie pre vetu 2

dôkaz: trojuholník ADB = trojuholník ADC podľa prvého znamienka (AD - všeobecný, AB = AC podľa podmienky, ∠BAD = ∠DAC). Z rovnosti trojuholníkov vyplýva, že všetky zodpovedajúce prvky sú rovnaké. BD = DC, pretože ležia oproti rovnakým uhlom. Takže AD je medián. Tiež ∠3 = ∠4, pretože ležia na opačných rovnakých stranách. Ale okrem toho sú si úplne rovní. Preto ∠3 = ∠4 = . To znamená, že AD je výška trojuholníka, čo sme potrebovali dokázať.

V jedinom prípade a = b = . V tomto prípade sa čiary AC a BD nazývajú kolmé.

Keďže os, výška a medián sú rovnaký segment, platia aj nasledujúce tvrdenia:

Nadmorská výška rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni je stred a stred.

Medián rovnoramenného trojuholníka nakresleného k základni je nadmorská výška a stred.

Príklad 1: V rovnoramennom trojuholníku má základňa polovičnú veľkosť strany a obvod je 50 cm Nájdite strany trojuholníka.

Vzhľadom na to: AB = AC, BC = AC. P = 50 cm.

Nájsť: BC, AC, AB.

Riešenie:

Ryža. 5. Kreslenie napríklad 1

Označme základ BC ako a, potom AB = AC = 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

odpoveď: BC = 10 cm, AC = AB = 20 cm.

Príklad 2: Dokážte, že v rovnostrannom trojuholníku sú všetky uhly rovnaké.

Vzhľadom na to: AB = BC = SA.

dokázať:∠A = ∠B = ∠C.

dôkaz:

Ryža. 6. Napríklad kreslenie

∠B = ∠C, pretože AB = AC a ∠A = ∠B, pretože AC = BC.

Preto ∠A = ∠B = ∠C, čo je potrebné dokázať.

odpoveď: Osvedčené.

V dnešnej lekcii sme sa pozreli na rovnoramenný trojuholník a študovali jeho základné vlastnosti. V ďalšej lekcii budeme riešiť problémy na tému rovnoramenné trojuholníky, na výpočet plochy rovnoramenného a rovnostranného trojuholníka.

1. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. a iné Geometria 7. - M.: Vzdelávanie.
2. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B. a iné Geometria 7. 5. vyd. - M.: Osveta.
3. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolová, vyd. Sadovnichego V.A. - M.: Vzdelávanie, 2010.

1. Slovníky a encyklopédie o akademikov ().
2. Festival pedagogických myšlienok „Otvorená hodina“ ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. Číslo 29. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. Geometria 7 / V.F. Butuzov, S.B. Kadomcev, V.V. Prasolová, vyd. Sadovnichego V.A. - M.: Vzdelávanie, 2010.

2. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 35 cm a základňa je trikrát menšia ako strana. Nájdite strany trojuholníka.

3. Dané: AB = BC. Dokážte, že ∠1 = ∠2.

4. Obvod rovnoramenného trojuholníka je 20 cm, jedna jeho strana je dvakrát väčšia ako druhá. Nájdite strany trojuholníka. Koľko riešení má problém?

Medzi všetkými trojuholníkmi existujú dva špeciálne typy: pravouhlé trojuholníky a rovnoramenné trojuholníky. Prečo sú tieto typy trojuholníkov také zvláštne? Po prvé, takéto trojuholníky sa mimoriadne často ukážu ako hlavné postavy v problémoch Jednotnej štátnej skúšky v prvej časti. A po druhé, problémy s pravým a rovnoramenným trojuholníkom sa riešia oveľa ľahšie ako iné geometrické problémy. Stačí poznať niekoľko pravidiel a vlastností. Všetky najzaujímavejšie veci sú diskutované v príslušnej téme, ale teraz sa pozrime na rovnoramenné trojuholníky. A v prvom rade, čo je to rovnoramenný trojuholník? Alebo, ako hovoria matematici, aká je definícia rovnoramenného trojuholníka?

Pozrite sa, ako to vyzerá:

Rovnako ako pravouhlý trojuholník, aj rovnoramenný trojuholník má špeciálne názvy pre svoje strany. Nazývajú sa dve rovnaké strany strany a tretia strana - základ.

A opäť venujte pozornosť obrázku:

Mohlo by to byť samozrejme takto:

Buď opatrný: bočná strana - jedna z dvoch rovnakých strán v rovnoramennom trojuholníku a základom je tretia strana.

Prečo je rovnoramenný trojuholník taký dobrý? Aby sme to pochopili, nakreslíme výšku k základni. Pamätáte si, aká je výška?

Čo sa stalo? Z jedného rovnoramenného trojuholníka dostaneme dva pravouhlé.

To je už dobré, ale stane sa to v akomkoľvek, dokonca aj v „najšikmejšom“ trojuholníku.

Ako sa líši obrázok pre rovnoramenný trojuholník? Pozrite sa znova:

No, po prvé, samozrejme, týmto zvláštnym matematikom nestačí len vidieť – musia to určite dokázať. V opačnom prípade sa zrazu tieto trojuholníky mierne líšia, ale budeme ich považovať za rovnaké.

Ale nebojte sa: v tomto prípade je dokazovanie takmer také jednoduché ako vidieť.

Môžme začať? Pozrite sa pozorne, máme:

A to znamená! prečo? Áno, jednoducho nájdeme a az Pytagorovej vety (súčasne si pamätáme, že)

Si si istý? No, teraz máme

A na troch stranách - najjednoduchší (tretí) znak rovnosti trojuholníkov.

Náš rovnoramenný trojuholník sa rozdelil na dva rovnaké pravouhlé.

Vidíte, aké je to zaujímavé? Ukázalo sa, že:

Ako o tom zvyčajne hovoria matematici? Poďme po poriadku:

(Pamätajte, že stred je čiara vedená z vrcholu, ktorý delí stranu na polovicu, a stred je uhol.)

Tu sme diskutovali o tom, aké dobré veci možno vidieť, ak dostaneme rovnoramenný trojuholník. Z toho sme odvodili, že v rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké a výška, stred a stred nakreslený k základni sa zhodujú.

A teraz vyvstáva ďalšia otázka: ako rozpoznať rovnoramenný trojuholník? To je, ako hovoria matematici, čo sú znaky rovnoramenného trojuholníka?

A ukázalo sa, že stačí „otočiť“ všetky vyhlásenia naopak. To sa, samozrejme, nestáva vždy, ale rovnoramenný trojuholník je stále skvelá vec! Čo sa stane po „obrate“?

No pozri:
Ak sa výška a medián zhodujú, potom:

Ak sa výška a os zhodujú, potom:


Ak sa os a stred zhodujú, potom:

No, nezabudnite a použite:

• Ak dostanete rovnoramenný trojuholníkový trojuholník, pokojne nakreslite výšku, získajte dva pravouhlé trojuholníky a vyriešte úlohu o pravouhlom trojuholníku.
• Ak je to dané dva uhly sú rovnaké, potom trojuholník presne tak rovnoramenné a môžete nakresliť výšku a….(Dom, ktorý postavil Jack…).
• Ak sa ukáže, že výška je rozdelená na polovicu, potom je trojuholník rovnoramenný so všetkými z toho vyplývajúcimi bonusmi.
• Ak sa ukáže, že výška rozdeľuje uhol medzi poschodiami - je to tiež rovnoramenné!
• Ak os rozdelí stranu na polovicu alebo stred rozdelí uhol, stane sa to tiež iba v rovnoramennom trojuholníku

Pozrime sa, ako to vyzerá v úlohách.

Problém 1(najjednoduchšie)

V trojuholníku sú strany a rovnaké, a. Nájsť.

Rozhodujeme sa:

Najprv kresba.

Aký je tu základ? Určite,.

Pripomeňme si, čo keby, potom a.

Aktualizovaný výkres:

Označme podľa. Aký je súčet uhlov trojuholníka? ?

Používame:

To je odpoveď: .

Nie je to ťažké, však? Nemusel som ani nastavovať výšku.

Problém 2(Tiež nie veľmi zložité, ale musíme si zopakovať tému)

V trojuholníku, . Nájsť.

Rozhodujeme sa:

Trojuholník je rovnoramenný! Nakreslíme výšku (to je trik, s ktorým sa teraz všetko rozhodne).

Teraz „vyškrtnime zo života“, len sa na to pozrime.

Takže máme:

Zapamätajme si tabuľkové hodnoty kosínusov (no, alebo sa pozrite na cheat sheet...)

Zostáva len nájsť: .

odpoveď: .

Všimnite si, že sme tu Veľmi požadované znalosti týkajúce sa pravouhlých trojuholníkov a „tabuľkových“ sínusov a kosínusov. Veľmi často sa to stáva: témy , „Rovnoramenný trojuholník“ a problémy idú spolu, ale nie sú veľmi priateľské k iným témam.

Rovnoramenný trojuholník. Priemerná úroveň.

Títo dve rovnaké strany sa volajú strany, A tretia strana je základňa rovnoramenného trojuholníka.

Pozrite sa na obrázok: a - strany, - základňa rovnoramenného trojuholníka.

Použime jeden obrázok, aby sme pochopili, prečo sa to deje. Nakreslíme výšku z bodu.

To znamená, že všetky zodpovedajúce prvky sú rovnaké.

Všetky! Na jeden záťah (výška) dokázali všetky tvrdenia naraz.

A pamätajte: na vyriešenie problému o rovnoramennom trojuholníku je často veľmi užitočné znížiť výšku k základni rovnoramenného trojuholníka a rozdeliť ho na dva rovnaké pravouhlé trojuholníky.

Znaky rovnoramenného trojuholníka

Aj opačné tvrdenia sú pravdivé:

Takmer všetky tieto tvrdenia možno opäť dokázať „jedným ťahom“.

1. Takže vpustiť sa ukázalo byť rovné a.

Skontrolujeme výšku. Potom

2. a) Teraz vpustite nejaký trojuholník výška a stred sa zhodujú.

2. b) A ak sa výška a medián zhodujú? Všetko je takmer rovnaké, nič komplikovanejšie!

- na dve strany

2. c) Ale ak tam nie je výška, ktorý je znížený na základňu rovnoramenného trojuholníka, potom neexistujú žiadne pôvodne pravouhlé trojuholníky. Zle!

Existuje však východisko - prečítajte si to na ďalšej úrovni teórie, pretože dôkaz je tu komplikovanejší, ale zatiaľ si pamätajte, že ak sa stredná a bisektor zhodujú, trojuholník sa tiež ukáže ako rovnoramenný a výška sa bude stále zhodovať s týmito osami a mediánom.

Poďme si to zhrnúť:

1. Ak je trojuholník rovnoramenný, potom sú uhly v základni rovnaké a nadmorská výška, stred a stred nakreslené k základni sa zhodujú.
2. Ak sú v niektorom trojuholníku dva rovnaké uhly alebo sa zhodujú dve z troch úsečiek (strednica, stred, nadmorská výška), potom je takýto trojuholník rovnoramenný.

Rovnoramenný trojuholník. Stručný popis a základné vzorce

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorý má dve rovnaké strany.

Znaky rovnoramenného trojuholníka:

1. Ak sú v určitom trojuholníku dva uhly rovnaké, potom je rovnoramenný.
2. Ak sa v nejakom trojuholníku zhodujú:
   A) výška a stred alebo
   b) výška a medián alebo
   V) medián a stred,
   nakreslený na jednu stranu, potom je takýto trojuholník rovnoramenný.

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku -
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - Kúpte si učebnicu - 899 RUR

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Vlastnosti rovnoramenného trojuholníka vyjadrujú nasledujúce vety.

Veta 1. V rovnoramennom trojuholníku sú uhly v základni rovnaké.

Veta 2. V rovnoramennom trojuholníku je stred pripojená k základni stred a nadmorská výška.

Veta 3. V rovnoramennom trojuholníku je stredom k základni priečinka a nadmorská výška.

Veta 4. V rovnoramennom trojuholníku je nadmorská výška nakreslená k základni osou a stredom.

Dokážme jednu z nich, napríklad vetu 2.5.

Dôkaz. Uvažujme rovnoramenný trojuholník ABC so základňou BC a dokážme, že ∠ B = ∠ C. Nech AD je osi trojuholníka ABC (obr. 1). Trojuholníky ABD a ACD sú rovnaké podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov (AB = AC podľa podmienky, AD je spoločná strana, ∠ 1 = ∠ 2, keďže AD ​​je os). Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že ∠ B = ∠ C. Veta je dokázaná.

Pomocou vety 1 je stanovená nasledujúca veta.

Veta 5. Tretie kritérium pre rovnosť trojuholníkov. Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné (obr. 2).

Komentujte. Vety ustanovené v príkladoch 1 a 2 vyjadrujú vlastnosti odvesny úsečky. Z týchto návrhov to vyplýva kolmice na strany trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Príklad 1 Dokážte, že bod v rovine rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici na túto úsečku.

Riešenie. Bod M nech je rovnako vzdialený od koncov segmentu AB (obr. 3), t.j. AM = BM.

Potom je Δ AMV rovnoramenný. Nakreslíme priamku p cez bod M a stred O úsečky AB. Podľa konštrukcie je úsečka MO mediánom rovnoramenného trojuholníka AMB, a preto (Veta 3), a výška, t.j. priamka MO, je kolmica na úsečku AB.

Príklad 2 Dokážte, že každý bod kolmice na úsečku je rovnako vzdialený od jej koncov.

Riešenie. Nech p je kolmica na úsečku AB a bod O je stred úsečky AB (pozri obr. 3).

Uvažujme ľubovoľný bod M ležiaci na priamke p. Nakreslíme segmenty AM a BM. Trojuholníky AOM a BOM sú rovnaké, pretože ich uhly vo vrchole O sú pravé, noha OM je spoločná a noha OA sa rovná vetve OB podľa podmienky. Z rovnosti trojuholníkov AOM a BOM vyplýva, že AM = BM.

Príklad 3 V trojuholníku ABC (pozri obr. 4) AB = 10 cm, BC = 9 cm, AC = 7 cm; v trojuholníku DEF DE = 7 cm, EF = 10 cm, FD = 9 cm.

Porovnajte trojuholníky ABC a DEF. Nájdite zodpovedajúce rovnaké uhly.

Riešenie. Tieto trojuholníky sú rovnaké podľa tretieho kritéria. Zodpovedajúco rovnaké uhly: A a E (ležia oproti rovnakým stranám BC a FD), B a F (ležia oproti rovnakým stranám AC a DE), C a D (ležia oproti rovnakým stranám AB a EF).

Príklad 4. Na obrázku 5, AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

Nájdite uhol D.

Riešenie. Zvážte trojuholníky ABC a ADC. Rovnaké sú podľa tretieho kritéria (AB = DC, BC = AD podľa podmienky a strana AC je spoločná). Z rovnosti týchto trojuholníkov vyplýva, že ∠ B = ∠ D, ale uhol B sa rovná 100°, čo znamená, že uhol D sa rovná 100°.

Príklad 5. V rovnoramennom trojuholníku ABC so základňou AC je vonkajší uhol pri vrchole C 123°. Nájdite veľkosť uhla ABC. Uveďte svoju odpoveď v stupňoch.

Video riešenie.

Geometria nie je len predmet v škole, z ktorého musíte mať výbornú známku. Aj toto sú vedomosti, ktoré sa v živote často vyžadujú. Napríklad pri stavbe domu s vysokou strechou je potrebné vypočítať hrúbku guľatiny a ich počet. To nie je ťažké, ak viete, ako nájsť výšku v rovnoramennom trojuholníku. Architektonické konštrukcie sú založené na znalostiach vlastností geometrických tvarov. Tvary budov ich často vizuálne pripomínajú. Egyptské pyramídy, vrecká na mlieko, umelecké výšivky, severské maľby a dokonca aj koláče - to všetko sú trojuholníky obklopujúce človeka. Ako povedal Platón, celý svet je založený na trojuholníkoch.

Rovnoramenný trojuholník

Trojuholník je rovnoramenný, ak má dve rovnaké strany. Vždy sa nazývajú bočné. Strana, ktorej rozmery sa líšia, sa nazýva základňa.

Základné pojmy

Ako každá veda, aj geometria má svoje základné pravidlá a pojmy. Je ich pomerne veľa. Uvažujme len o tých, bez ktorých bude naša téma trochu nezrozumiteľná.

Výška je priamka vedená kolmo na opačnú stranu.

Stred je úsečka smerujúca z ktoréhokoľvek vrcholu trojuholníka výlučne do stredu opačnej strany.

Osa uhla je lúč, ktorý pretína uhol.

Osa trojuholníka je priamka alebo skôr úsečka spájajúca vrchol s opačnou stranou.

Je veľmi dôležité si uvedomiť, že os uhla je nevyhnutne lúč a os trojuholníka je súčasťou takéhoto lúča.

Uhly na základni

Veta hovorí, že uhly v základni akéhokoľvek rovnoramenného trojuholníka sú vždy rovnaké. Dokázanie tejto vety je veľmi jednoduché. Uvažujme znázornený rovnoramenný trojuholník ABC, v ktorom AB = BC. Z uhla ABC je potrebné nakresliť bisektor VD. Teraz by sme mali zvážiť dva výsledné trojuholníky. Podľa podmienky AB = BC je strana WD trojuholníkov spoločná a uhly AVD a SVD sú rovnaké, pretože WD je os. Keď si pamätáme prvý znak rovnosti, môžeme bezpečne dospieť k záveru, že príslušné trojuholníky sú rovnaké. Preto sú všetky zodpovedajúce uhly rovnaké. A, samozrejme, strany, ale k tomuto bodu sa vrátime neskôr.

Výška rovnoramenného trojuholníka

Hlavná veta, na ktorej je založené riešenie takmer všetkých problémov, je nasledovná: výška v rovnoramennom trojuholníku je stred a stred. Aby ste pochopili jeho praktický význam (alebo podstatu), mali by ste si vytvoriť pomocnú príručku. Aby ste to dosiahli, musíte z papiera vystrihnúť rovnoramenný trojuholník. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je z bežného listu zošita v krabici.

Ohnite výsledný trojuholník na polovicu a zarovnajte strany. Čo sa stalo? Dva rovnaké trojuholníky. Teraz by ste mali skontrolovať svoje odhady. Rozložte výsledné origami. Nakreslite čiaru skladania. Pomocou uhlomeru skontrolujte uhol medzi nakreslenou čiarou a základňou trojuholníka. Čo znamená uhol 90 stupňov? Že nakreslená čiara je kolmá. Podľa definície - výška. Prišli sme na to, ako zistiť výšku v rovnoramennom trojuholníku. Teraz sa poďme zaoberať vrcholovými uhlami. Pomocou toho istého uhlomeru skontrolujte uhly vytvorené výškou teraz. Sú si rovní. To znamená, že výška je tiež osou. Vyzbrojení pravítkom zmerajte segmenty, na ktoré je rozdelená výška základne. Sú si rovní. Preto nadmorská výška v rovnoramennom trojuholníku pretína základňu a je mediánom.

Dôkaz vety

Vizuálna pomôcka jasne demonštruje pravdivosť vety. Ale geometria je pomerne presná veda, takže vyžaduje dôkaz.

Pri zvažovaní rovnosti uhlov na základni sa dokázala rovnosť trojuholníkov. Pripomeňme, že WD je os a trojuholníky AVD a SVD sú rovnaké. Záver bol tento: zodpovedajúce strany trojuholníka a, prirodzene, uhly sú rovnaké. Takže BP = DM. Preto je VD medián. Zostáva dokázať, že VD je výška. Na základe rovnosti uvažovaných trojuholníkov sa ukazuje, že uhol ADV sa rovná uhlu DDV. Ale tieto dva uhly spolu susedia a ako viete, ich súčet je 180 stupňov. Čomu sa teda rovnajú? Samozrejme, 90 stupňov. VD je teda výška v rovnoramennom trojuholníku nakreslenom k ​​základni. Q.E.D.

Hlavné rysy

• Ak chcete úspešne vyriešiť problémy, mali by ste si zapamätať hlavné črty rovnoramenných trojuholníkov. Sú akoby prevrátenými vetami.
• Ak sa pri riešení problému zistí, že dva uhly sú rovnaké, potom máte čo do činenia s rovnoramenným trojuholníkom.
• Ak dokážete, že medián je aj nadmorská výška trojuholníka, pokojne urobte záver, že trojuholník je rovnoramenný.
• Ak je bisektor zároveň výškou, potom je trojuholník na základe hlavných charakteristík klasifikovaný ako rovnoramenný.
• A samozrejme, ak medián funguje aj ako výška, potom je takýto trojuholník rovnoramenný.

Výška Formula 1

Väčšina problémov však vyžaduje zistenie aritmetickej hodnoty výšky. Preto zvážime, ako nájsť výšku v rovnoramennom trojuholníku.

Vráťme sa k obrázku ABC uvedenému vyššie, v ktorom a sú strany, b je základňa. VD je výška tohto trojuholníka, označuje sa h.

Čo je trojuholník AED? Keďže VD je výška, trojuholník ABC je pravouhlý trojuholník, ktorého nohu treba nájsť. Pomocou Pytagorovho vzorca dostaneme:

AB² = AD² + VD²

Určením VD z výrazu a nahradením predtým prijatých zápisov získame:

Н² = а² - (в/2)².

Potrebujete extrahovať koreň:

Н = √а² - в²/4.

Ak odstránite ¼ z koreňového znamienka, vzorec bude vyzerať takto:

H = ½ √4a² - b².

Takto zistíte výšku v rovnoramennom trojuholníku. Vzorec vyplýva z Pytagorovej vety. Aj keď zabudnete na tento symbolický zápis, potom, keď poznáte metódu hľadania, môžete ju vždy odvodiť.

Výškový vzorec 2

Vyššie opísaný vzorec je základný a najčastejšie sa používa pri riešení väčšiny geometrických problémov. Ale nie je jediná. Niekedy podmienka namiesto základne udáva hodnotu uhla. Vzhľadom na takéto údaje, ako nájsť výšku v rovnoramennom trojuholníku? Na vyriešenie takýchto problémov je vhodné použiť iný vzorec:

kde H je výška smerujúca k základni,

a - strana,

α - uhol na základni.

Ak je problému daná hodnota vrcholového uhla, výška v rovnoramennom trojuholníku sa zistí takto:

Н = а/cos (β/2),

kde H je výška znížená k základni,

β - vrcholový uhol,

a - strana.

Pravý rovnoramenný trojuholník

Trojuholník, ktorého vrchol je 90 stupňov, má veľmi zaujímavú vlastnosť. Zvážte ABC. Rovnako ako v predchádzajúcich prípadoch, HP je výška smerujúca k základni.

Uhly na základni sú rovnaké. Vypočítať ich nebude ťažké:

a = (180 - 90)/2.

Uhly na základni sú teda vždy 45 stupňov. Teraz zvážte trojuholník ADV. Je tiež obdĺžnikový. Poďme nájsť uhol AVD. Jednoduchými výpočtami dostaneme 45 stupňov. A preto je tento trojuholník nielen pravouhlý, ale aj rovnoramenný. Strany AD a HP sú bočné strany a sú si navzájom rovné.

Ale strana AD je zároveň polovicou strany AC. Ukazuje sa, že výška v rovnoramennom trojuholníku sa rovná polovici základne a ak ju napíšeme vo forme vzorca, dostaneme nasledujúci výraz:

Malo by sa pamätať na to, že tento vzorec je výlučne špeciálny prípad a možno ho použiť iba pre pravouhlé rovnoramenné trojuholníky.

Zlaté trojuholníky

Zlatý trojuholník je veľmi zaujímavý. Na tomto obrázku sa pomer strany k základni rovná hodnote nazývanej Phidias číslo. Uhol umiestnený na vrchu je 36 stupňov, na základni - 72 stupňov. Pythagorejci tento trojuholník obdivovali. Princípy Zlatého trojuholníka tvoria základ mnohých nesmrteľných majstrovských diel. Tá známa je postavená na priesečníku rovnoramenných trojuholníkov. Leonardo da Vinci použil princíp „zlatého trojuholníka“ pre mnohé zo svojich výtvorov. Kompozícia „La Gioconda“ je založená práve na postavách, ktoré vytvárajú pravidelný päťuholník v tvare hviezdy.

Obraz „Kubizmus“, jeden z výtvorov Pabla Picassa, upúta pozornosť svojimi rovnoramennými trojuholníkmi ako základom.