Вида y = f (x ), x О N , где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается y = f (n ) или y 1 , y 2 ,…, y n ,…. Значения y 1 , y 2 , y 3 ,… называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.

Например, для функции y = n 2 можно записать:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.

1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:

y n = f (n ).

Пример. y n = 2n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Описательный способ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Пример 1. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….

Пример 2. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.

3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Название рекуррентный способ происходит от латинского слова recurrere – возвращаться. Чаще всего в таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие, и задают 1–2 начальных члена последовательности.

Пример 1. y 1 = 3; y n = y n –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….

Здесь y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7; y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность может быть задана и аналитически: y n = 4n – 1.

Пример 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n –1 , если n = 3, 4,….

Здесь: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Последовательность, составленную в этом примере, специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств и приложений. Ее называют последовательностью Фибоначчи – по имени итальянского математика 13 в. Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n -е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой .

На первый взгляд, формула для n -го числа Фибоначчи кажется неправдоподобной, так как в формуле, задающей последовательность одних только натуральных чисел, содержатся квадратные корни, но можно проверить «вручную» справедливость этой формулы для нескольких первых n .

Свойства числовых последовательностей.

Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Определение. Последовательность {y n } называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Определение.Последовательность {y n } называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n > y n +1 > … .

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.

Пример 1. y 1 = 1; y n = n 2 – возрастающая последовательность.

Таким образом, верна следующая теорема (характеристическое свойство арифметической прогрессии). Числовая последовательность является арифметической тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Пример. При каком значении x числа 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 образуют конечную арифметическую прогрессию?

Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Решение этого уравнения дает x = –5,5. При этом значении x заданные выражения 3x + 2, 5x – 4 и 11x + 12 принимают, соответственно, значения –14,5, –31,5, –48,5. Это – арифметическая прогрессия, ее разность равна –17.

Геометрическая прогрессия.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q , называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность {b n }, заданная рекуррентно соотношениями

b 1 = b , b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0).

Пример 1. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.

Пример 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.

Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 q

Одно из очевидных свойств геометрической прогрессии состоит в том, что если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… является геометрической прогрессией, первый член которой равен b 1 2 , а знаменатель – q 2 .

Формула n- го члена геометрической прогрессии имеет вид

b n = b 1 q n– 1 .

Можно получить формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

b 1 , b 2 , b 3 , …, b n

пусть S n – сумма ее членов, т.е.

S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n .

Принимается, что q № 1. Для определения S n применяется искусственный прием: выполняются некоторые геометрические преобразования выражения S n q .

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n )q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n + b n q = S n + b n q – b 1 .

Таким образом, S n q = S n + b n q – b 1 и, следовательно,

Это формула суммы n членов геометрической прогрессии для случая, когда q ≠ 1.

При q = 1 формулу можно не выводить отдельно, очевидно, что в этом случае S n = a 1 n .

Геометрической прогрессия названа потому, что в ней каждый член кроме первого, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов. Действительно, так как

b n = b n- 1 q;

b n = b n+ 1 /q,

следовательно, b n 2= b n– 1 b n+ 1 и верна следующаятеорема(характеристическое свойство геометрической прогрессии):

числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого (и последнего в случае конечной последовательности), равен произведению предыдущего и последующего членов.

Предел последовательности.

Пусть есть последовательность {c n } = {1/n }. Эту последовательность называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим членами. Среднее геометрическое чисел a и b есть число

В противном случае последовательность называется расходящейся.

Опираясь на это определение, можно, например, доказать наличие предела A = 0 у гармонической последовательности {c n } = {1/n }. Пусть ε – сколь угодно малое положительное число. Рассматривается разность

Существует ли такое N , что для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/N ? Если взять в качестве N любое натуральное число, превышающее 1/ε , то для всех n ≥ N выполняется неравенство 1/n ≤ 1/N ε , что и требовалось доказать.

Доказать наличие предела у той или иной последовательности иногда бывает очень сложно. Наиболее часто встречающиеся последовательности хорошо изучены и приводятся в справочниках. Имеются важные теоремы, позволяющие сделать вывод о наличии предела у данной последовательности (и даже вычислить его), опираясь на уже изученные последовательности.

Теорема 1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Теорема 2. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 3. Если последовательность {a n } имеет предел A , то последовательности {ca n }, {a n + с} и {| a n |} имеют пределы cA , A + c , |A | соответственно (здесь c – произвольное число).

Теорема 4. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B pa n + qb n } имеет предел pA + qB .

Теорема 5. Если последовательности {a n } и {b n }имеют пределы, равные A и B соответственно, то последовательность {a n b n } имеет предел AB.

Теорема 6. Если последовательности {a n } и {b n } имеют пределы, равные A и B соответственно, и, кроме того, b n ≠ 0 и B ≠ 0, то последовательность {a n / b n } имеет предел A/B .

Анна Чугайнова

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию , рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия - это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность - это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер . Элементы этого множества называются членами последовательности. Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом:

Первый элемент последовательности;

Пятый элемент последовательности;

- "энный" элемент последовательности, т.е. элемент, "стоящий в очереди" под номером n.

Между значением элемента последовательности и его порядковым номером существует зависимость. Следовательно, мы можем рассматривать последовательность как функцию, аргументом которой является порядковый номер элемента последовательности. Другими словами можно сказать, что последовательность - это функция от натурального аргумента:

Последовательность можно задать тремя способами:

1 . Последовательность можно задать с помощью таблицы. В этом случае мы просто задаем значение каждого члена последовательности.

Например, Некто решил заняться личным тайм-менеджментом, и для начала посчитать в течение недели, сколько времени он проводит ВКонтакте. Записывая время в таблицу, он получит последовательность, состоящую из семи элементов:

В первой строке таблицы указан номер дня недели, во второй - время в минутах. Мы видим, что , то есть в понедельник Некто провел ВКонтакте 125 минут, , то есть в четверг - 248 минут, а , то есть в пятницу всего 15.

2 . Последовательность можно задать с помощью формулы n-го члена.

В этом случае зависимость значения элемента последовательности от его номера выражается напрямую в виде формулы.

Например, если , то

Чтобы найти значение элемента последовательности с заданным номером, мы номер элемента подставляем в формулу n-го члена.

То же самое мы делаем, если нужно найти значение функции, если известно значение аргумента. Мы значение аргумента подставляем вместо в уравнение функции:

Если, например, , то

Ещё раз замечу, что в последовательности, в отличие от произвольной числовой функции, аргументом может быть только натуральное число.

3 . Последовательность можно задать с помощью формулы, выражающей зависимость значения члена последовательности с номером n от значения предыдущих членов. В этом случае нам недостаточно знать только номер члена последовательности, чтобы найти его значение. Нам нужно задать первый член или несколько первых членов последовательности.

Например, рассмотрим последовательность ,

Мы можем находить значения членов последовательности один за другим , начиная с третьего:

То есть каждый раз, чтобы найти значение n-го члена последовательности, мы возвращаемся к двум предыдущим. Такой способ задания последовательности называется рекуррентным , от латинского слова recurro - возвращаться.

Теперь мы можем дать определение арифметической прогрессии. Арифметическая прогрессия - это простой частный случай числовой последовательности.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.

Число называется разностью арифметической прогрессии . Разность арифметической прогрессии может быть положительной, отрицательной, или равной нулю.

Если title="d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является возрастающей .

Например, 2; 5; 8; 11;...

Если , то каждый член арифметической прогрессии меньше предыдущего, и прогрессия является убывающей .

Например, 2; -1; -4; -7;...

Если , то все члены прогрессии равны одному и тому же числу, и прогрессия является стационарной .

Например, 2;2;2;2;...

Основное свойство арифметической прогрессии:

Посмотрим на рисунок.

Мы видим, что

, и в то же время

Сложив эти два равенства, получим:

.

Разделим обе части равенства на 2:

Итак, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних:

Больше того, так как

, и в то же время

, то

, и, следовательно,

Каждый член арифметической прогрессии, начиная с title="k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.

Формула го члена.

Мы видим, что для членов арифметической прогрессии выполняются соотношения:

и, наконец,

Мы получили формулу n-го члена.

ВАЖНО! Любой член арифметической прогрессии можно выразить через и . Зная первый член и разность арифметической прогрессии можно найти любой её член.

Сумма n членов арифметической прогрессии.

В произвольной арифметический прогрессии суммы членов, равноотстоящих от крайних равны между собой:

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой n членов. Пусть сумма n членов этой прогрессии равна .

Расположим члены прогрессии сначала в порядке возрастания номеров, а затем в порядке убывания:

Сложим попарно:

Сумма в каждой скобке равна , число пар равно n.

Получаем:

Итак, сумму n членов арифметической прогрессии можно найти по формулам:

Рассмотрим решение задач на арифметическую прогрессию .

1 . Последовательность задана формулой n-го члена: . Докажите, что эта последовательность является арифметической прогрессией.

Докажем, что разность между двумя соседними членами последовательности равна одному и тому же числу.

Мы получили, что разность двух соседних членов последовательности не зависит от их номера и является константой. Следовательно, по определению, эта последовательность является арифметической прогрессией.

2 . Дана арифметическая прогрессия -31; -27;...

а) Найдите 31 член прогрессии.

б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41.

а) Мы видим, что ;

Запишем формулу n-го члена для нашей прогрессии.

В общем случае

В нашем случае , поэтому

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОГРЕССИИ

Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х n , то говорят, что задана числовая последовательность х 1, х 2, …, х n , ….

Обозначение числовой последовательности { х n } .

При этом числа х 1, х 2, …, х n , … называются членами последовательности .

Основные способы задания числовых последовательностей

1. Одним из наиболее удобных способов является задание последовательности формулой её общего члена : х n = f (n ), n Î N .

Например, х n = n 2 + 2n + 3 Þ х 1 = 6, х 2 = 11, х 3 = 18, х 4 = 27, …

2. Непосредственным перечислением конечного числа первых членов.

Например, https://pandia.ru/text/80/155/images/image002_9.gif" width="87" height="46 src=">

3. Рекуррентным соотношением , т. е. формулой, выражающей n-член через предшествующие один или несколько членов.

Например, рядом Фибоначчи называется последовательность чисел

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, которая определяется рекуррентно:

х 1 = 1, х 2 = 1, х n +1 = xn + xn –1 (n = 2, 3, 4, …).

Арифметические операции над последовательностями

1. Суммой (разностью ) последовательностей { а n } и { bn cn } = { an ± bn }.

2. Произведением последовательностей { а n } и { bn } называется последовательность { cn } = { an ×bn }.

3. Частным последовательностей { а n } и { bn }, bn ¹ 0, называется последовательность { cn } = { an ×/ bn }.

Свойства числовых последовательностями

1. Последовательность { х n } называется ограниченной сверху М n справедливо неравенство х n £ M .

2. Последовательность { х n } называется ограниченной снизу , если существует такое действительное число m , что для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n ³ m .

3. Последовательность { х n } называется возрастающей n справедливо неравенство х n < х n +1.

4. Последовательность { х n } называется убывающей , если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n > х n +1.

5. Последовательность { х n } называется невозрастающей , если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n ³ х n +1.

6. Последовательность { х n } называется неубывающей , если для всех натуральных значений n справедливо неравенство х n £ х n +1.

Последовательности возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие называются монотонными последовательностями, при этом возрастающие и убывающие – строго монотонными .

Основные приёмы, применяемые при исследовании последовательности на монотонность

1. Использование определения.

а) Для исследуемой последовательности { х n } составляется разность

х n – х n +1, и далее выясняется, сохраняет ли эта разность постоянный знак при любых n Î N , и если да, то какой именно. В зависимости от этого делается вывод о монотонности (немонотонности) последовательности.

б) Для знакопостоянных последовательностей { х n } можно составить отношение х n +1/ х n и сравнить его с единицей.

Если это отношение при всех n больше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её возрастании, а для строго отрицательной, соответственно, об убывании.

Если это отношение при всех n не меньше единицы, то для строго положительной последовательности делается вывод о её неубывании, а для строго отрицательной, соответственно, о невозрастании.

Если это отношение при некоторых номерах n больше единицы, а при других номерах n меньше единицы, то это говорит о немонотонном характере последовательности.

2. Переход к функции действительного аргумента.

Пусть необходимо исследовать на монотонность числовую последовательность

а n = f (n ), n Î N .

Введём в рассмотрение функцию действительного аргумента х :

f (х ) = а (х ), х ³ 1,

и исследуем её на монотонность.

Если функция дифференцируема на рассматриваемом промежутке, то найдём её производную и исследуем знак.

Если производная положительна, то функция возрастает.

Если производная отрицательная, то функция убывает.

Возвращаясь к натуральным значениям аргумента, распространяем эти результаты на исходную последовательность.

Число а называется пределом последовательности х n , если для любого сколь угодно малого положительного числа e найдётся такое натуральное число N , что для всех номеров n > N выполнено неравенство | xn – a | < e.

Вычисление суммы n первых членов последовательности

1. Представление общего члена последовательности в виде разности двух или нескольких выражений таким образом, чтобы при подстановке большая часть промежуточных слагаемых сократилась, и сумма существенно упростилась.

2. Для проверки и доказательства уже имеющихся формул нахождения сумм первых членов последовательностей может быть использован метод математической индукции.

3. Некоторые задачи с последовательностями удаётся свести к задачам на арифметические или геометрические прогрессии.

Арифметические и геометрические прогрессии

Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение х n }, n ÎN , называется арифметической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же постоянным для данной последовательности числом d , т. е. а n +1 = an + d , где d – разность прогрессии, а n – общий член (n -й член)	Определение Числовая последовательность { х n }, n ÎN , называется геометрической прогрессией, если каждый её член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же постоянное для данной последовательности числом q , т. е. bn +1 = bn × q , b 1 ¹ 0, q ¹ 0, где q – знаменатель прогрессии, bn – общий член (n -й член)
Монотонность Если d > 0, то прогрессия возрастающая. Если d < 0, то прогрессия убывающая.	Монотонность Если b 1 > 0, q > 1 или b 1 < 0, 0 < q < 1, то прогрессия возрастающая. Если b 1 < 0, q > 1 или b 1 > 0, 0 < q < 1, то прогрессия убывающая. Если q < 0, то прогрессия немонотонная
Формула общего члена а n = a 1 + d ×(n – 1) Если 1 £ k £ n – 1, то а n = ak + d ×(n – k )	Формула общего члена bn = b 1 × qn – 1 Если 1 £ k £ n – 1, то bn = bk × qn –k
Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то	Характеристическое свойство Если 1 £ k £ n – 1, то
Свойство an + am = ak + al , если n + m = k + l	Свойство bn × bm = bk × bl , если n + m = k + l
Сумма первых n членов Sn = a 1 + a 2 + … + an или	Сумма Sn = b 1 + b 2 + … + bn Если q ¹ 1, то . Если q = 1, то Sn = b 1×n . Если |q | < 1 и n ® ¥, то
Операции над прогрессиями 1. Если { а n } и { bn } арифметические прогрессии, то последовательность { an ± bn } тоже является арифметической прогрессией. 2. Если все члены арифметической прогрессии { а n } умножить на одно и то же действительное число k , то полученная последовательность тоже будет арифметической прогрессией, разность которой соответственно изменится в k раз	Операции над прогрессиями Если { а n } и { bn } геометрические прогрессии со знаменателями q 1 и q 2 соответственно, то последовательность: 1) {an ×bn q 1×q 2; 2) {an /bn } тоже является геометрической прогрессией со знаменателем q 1/q 2; 3) {|an |} тоже является геометрической прогрессией со знаменателем |q 1|

Основные методы решения задач на прогрессии

1. Один из наиболее распространённых методов решения задач на арифметические прогрессии состоит в том, что все задействованные в условии задачи члены прогрессии выражаются через разность прогрессии d a d и а 1.

2. Широко распространён и считается стандартным метод решения задач на геометрические прогрессии , когда все фигурирующие в условии задачи члены геометрической прогрессии выражаются через знаменатель прогрессии q и какой-либо один его член, чаще всего первый b 1. Исходя из условий задачи, составляется и решается система с неизвестными q и b 1.

Образцы решения задач

Задача 1 .

Задана последовательность х n = 4n (n 2 + 1) – (6n 2 + 1). Найти сумму Sn первых n членов этой последовательности.

Решение . Преобразуем выражение для общего члена последовательности:

х n = 4n (n 2 + 1) – (6n 2 + 1) = 4n 3 + 4n – 6n 2 – 1 = n 4 – n 4 + 4n 3 – 6n 2 + 4n – 1 =

= n 4 – (n 4 – 4n 3 + 6n 2 – 4n + 1) = n 4 – (n – 1)4.

Sn = x 1 + x 2 + x 3 + … + xn = (14 – 04) + (24 – 14) + (34 – 24) + … + (n 4 – (n – 1)4) = n 4.

Задача 2 .

Задана последовательность а n = 3n + 2..gif" width="429" height="45">.

Отсюда, A (3n + 5) + B (3n + 2) = 1,

(3A + 3B )n + (5A + 2B ) = 1.

n .

n 1 | 3A + 3B = 0,

n0 | 5A + 2B = 1.

А = 1/3, В = –1/3.

Таким образом, https://pandia.ru/text/80/155/images/image012_2.gif" width="197" height="45">.gif" width="113" height="45">.gif" width="39" height="41 src=">а n . Является ли число 1980 членом этой последовательности? Если да, то определить его номер.

Решение . Выпишем первые n членов этой последовательности:

а 1 = 2, , https://pandia.ru/text/80/155/images/image021.gif" width="63" height="41">.gif" width="108" height="41">.gif" width="93" height="41">.

Перемножим эти равенства:

а 1а 2а 3а 4а 5…an -2an -1an = а 1а 2а 3а 4а 5…an -2an -1.

Отсюда, an = n (n + 1).

Тогда, 1980 = n (n + 1) Û n 2 + n – 1980 = 0 Û n = –45 < 0, n = 44 Î N .

Ответ: да, n = 44.

Задача 4 .

Найти сумму S = а 1 + а 2 + а 3 + … + а n чисел а 1, а 2, а 3, …,а n , которые при любом натуральном n удовлетворяют равенству Sn = а 1 + 2а 2 + 3а 3 + … + n а n = .

Решение . S 1 = a 1 = 2/3.

Для n > 1, nan = Sn – Sn –1 = – https://pandia.ru/text/80/155/images/image029_0.gif" width="216" height="48 src=">.

Отсюда, =https://pandia.ru/text/80/155/images/image032.gif" width="244" height="44">,

А (n + 1)(n + 2) + Bn (n + 2) + Cn (n + 1) = 1

(A + B + C )n 2 + (3A + 2B + C )n + 2A = 1,

Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях n .

n 2 | A + B + C = 0,

n 1 | 3A + 2B + C = 0,

n0 | 2A = 1.

Решая полученную систему, получим А = 1/2, В = –1, C = 1/2.

Итак, https://pandia.ru/text/80/155/images/image034.gif" width="139" height="45 src=">.gif" width="73" height="41">,

где , , n > 1,

S ¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image040_0.gif" width="233" height="45 src=">=.

S ¢¢ = https://pandia.ru/text/80/155/images/image043_0.gif" width="257" height="45 src=">=.

S = а 1 + а 2 + а 3 + … + а n = а 1 +=

= а 1 +https://pandia.ru/text/80/155/images/image047_0.gif" width="72" height="41 src=">==

Задача 5 .

Найти наибольший член последовательности .

Решение . Положим bn = –n 2 + 8n – 7 = 9 – (n – 4)2, .

Понятие числовой последовательности

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью: $f:N→R$

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$

где $p_1,p_2,…,p_k,…$ - действительные числа.

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

Аналитический.

В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

Рекуррентный.

Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

Словесный.

При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

Двумя частными случаями числовых последовательностей являются арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Определение 3

Арифметической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число. Каждое же последующее определяется как сумма предыдущего с наперед заданным конкретным числом $d$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть разностью арифметической прогрессии.

$p_1,p_{k+1}=p_k+d.$

Замечание 1

Отметим, что частным случаем арифметической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой разность прогрессии равняется нулю.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ :

$p_k=p_1+(k-1)d$

$S_k=\frac{(p_1+p_k)k}{2}$ или $S_k=\frac{(2p_1+(k-1)d)k}{2} $

У арифметической прогрессии есть так называемое характеристическое свойство, которое определяется формулой:

$p_k=\frac{p_{k-1}+p_{k+1}}{2}$

Геометрическая прогрессия

Определение 4

Геометрической прогрессией называется последовательность, которая словесно описывается следующим образом: Задано первое число, не равное нулю. Каждое же последующее определяется как произведение предыдущего с наперед заданным конкретным не равным нулю числом $q$.

В этом определении данное наперед заданное число будем называть знаменателем геометрической прогрессии.

Очевидно, что рекуррентно эту последовательность записываем следующим образом:

$p_1≠0,p_{k+1}=p_k q,q≠0$.

Замечание 2

Отметим, что частным случаем геометрической прогрессии является постоянная прогрессия, при которой знаменатель прогрессии равняется единице.

Для обозначения арифметической прогрессии в ее начале изображается следующий символ:

Из рекуррентного соотношения для данной последовательности легко выводится формула для нахождения любого члена через первый:

$p_k=p_1 q^{(k-1)}$

Сумма $k$ первых членов можно найти по формуле

$S_k=\frac{p_k q-p_1}{q-1}$ или $S_k=\frac{p_1 (q^k-1)}{q-1}$

Она является геометрической.

Очевидно, что знаменатель данной геометрической прогрессии равняется

$q=\frac{9}{3}=3$

Тогда по второй формуле суммы арифметической прогрессии, получим:

$S_5=\frac{3\cdot (3^5-1)}{3-1}=363$

Если каждому натуральному числу n поставить в соответствие действительное число a n , то говорят, что задано числовую последовательность :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Итак, числовая последовательность — функция натурального аргумента.

Число a 1 называют первым членом последовательности , число a 2 — вторым членом последовательности , число a 3 — третьим и так далее. Число a n называют n-м членом последовательности , а натуральное число n — его номером .

Из двух соседних членов a n и a n +1 последовательности член a n +1 называют последующим (по отношению к a n ), а a n — предыдущим (по отношению к a n +1 ).

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена , то есть формулы, которая позволяет определить член последовательности по его номеру.

Например,

последовательность положительных нечётных чисел можно задать формулой

a n = 2n - 1,

а последовательность чередующихся 1 и -1 — формулой

b n = (-1) n +1 . ◄

Последовательность можно определить рекуррентной формулой , то есть формулой, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько) члены.

Например,

если a 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Если а 1 = 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , то первые семь членов числовой последовательности устанавливаем следующим образом:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Последовательности могут быть конечными и бесконечными .

Последовательность называется конечной , если она имеет конечное число членов. Последовательность называется бесконечной , если она имеет бесконечно много членов.

Например,

последовательность двузначных натуральных чисел:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечная.

Последовательность простых чисел:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бесконечная. ◄

Последовательность называют возрастающей , если каждый её член, начиная со второго, больше чем предыдущий.

Последовательность называют убывающей , если каждый её член, начиная со второго, меньше чем предыдущий.

Например,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n , . . . — возрастающая последовательность;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 / n , . . . — убывающая последовательность. ◄

Последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают, называется монотонной последовательностью .

Монотонными последовательностями, в частности, являются возрастающие последовательности и убывающие последовательности.

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .

является арифметической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

a n +1 = a n + d ,

где d — некоторое число.

Таким образом, разность между последующим и предыдущим членами данной арифметической прогрессии всегда постоянна:

а 2 - a 1 = а 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d .

Число d называют разностью арифметической прогрессии .

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать её первый член и разность.

Например,

если a 1 = 3, d = 4 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d = 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d = 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d = 15 + 4 = 19. ◄

Для арифметической прогрессии с первым членом a 1 и разностью d её n

a n = a 1 + (n - 1)d.

Например,

найдём тридцатый член арифметической прогрессии

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n - 2)d,

a n = a 1 + (n - 1)d,

a n +1 = a 1 + nd ,

то, очевидно,

a n =	a n-1 + a n+1
	2

каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой арифметической прогрессии тогда и только тогда, когда одно из них равно среднему арифметическому двух других.

Например,

a n = 2n - 7 , является арифметической прогрессией.

Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

a n = 2n - 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n - 9,

a n+1 = 2(n + 1) - 7 = 2n - 5.

Следовательно,

a n+1 + a n-1	=	2n - 5 + 2n - 9	= 2n - 7 = a n ,
2		2

◄

Отметим, что n -й член арифметической прогрессии можно найти не толь через a 1 , но и любой предыдущий a k

a n = a k + (n - k )d .

Например,

для a 5 можно записать

a 5 = a 1 + 4d ,

a 5 = a 2 + 3d ,

a 5 = a 3 + 2d ,

a 5 = a 4 + d . ◄

a n = a n-k + kd ,

a n = a n+k - kd ,

то, очевидно,

a n =	a n-k + a n+k
	2

любой член арифметической прогрессии, начиная со второго равен полусумме равноотстоящих от него членов этой арифметической прогрессии.

Кроме того, для любой арифметической прогрессии справедливо равенство:

a m + a n = a k + a l ,

m + n = k + l.

Например,

в арифметической прогрессии

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d = 7 + 7·3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10 = 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13 )/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9 , так как

a 2 + a 12 = 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . + a n ,

первых n членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

Отсюда, в частности, следует, что если нужно просуммировать члены

a k , a k +1 , . . . , a n ,

то предыдущая формула сохраняет свою структуру:

Например,

в арифметической прогрессии 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Если дана арифметическая прогрессия, то величины a 1 , a n , d , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При этом:

• если d > 0 , то она является возрастающей;
• если d < 0 , то она является убывающей;
• если d = 0 , то последовательность будет стационарной.

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n , . . .

является геометрической прогрессией, если для любого натурального числа n выполняется условие:

b n +1 = b n · q ,

где q ≠ 0 — некоторое число.

Таким образом, отношение последующего члена данной геометрической прогрессии к предыдущему есть число постоянное:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q .

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии .

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно указать её первый член и знаменатель.

Например,

если b 1 = 1, q = -3 , то первые пять членов последовательности находим следующим образом:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q = -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q = 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q = -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 и знаменателем q её n -й член может быть найден по формуле:

b n = b 1 · q n -1 .

Например,

найдём седьмой член геометрической прогрессии 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 · 2 6 = 64 . ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n ,

то, очевидно,

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому (пропорциональному) предшествующего и последующего членов.

Так как верно и обратное утверждение, то имеет место следующее утверждение:

числа a, b и c являются последовательными членами некоторой геометрической прогрессии тогда и только тогда, когда квадрат одного из них равен произведению двух других, то есть одно из чисел является средним геометрическим двух других.

Например,

докажем, что последовательность, которая задаётся формулой b n = -3 · 2 n , является геометрической прогрессией. Воспользуемся приведённым выше утверждением. Имеем:

b n = -3 · 2 n ,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

Следовательно,

b n 2 = (-3 · 2 n ) 2 = (-3 · 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

что и доказывает нужное утверждение. ◄

Отметим, что n -й член геометрической прогрессии можно найти не только через b 1 , но и любой предыдущий член b k , для чего достаточно воспользоваться формулой

b n = b k · q n - k .

Например,

для b 5 можно записать

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3 ,

b 5 = b 3 · q 2 ,

b 5 = b 4 · q . ◄

b n = b k · q n - k ,

b n = b n - k · q k ,

то, очевидно,

b n 2 = b n - k · b n + k

квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго равен произведению равноотстоящих от него членов этой прогрессии.

Кроме того, для любой геометрической прогрессии справедливо равенство:

b m · b n = b k · b l ,

m + n = k + l .

Например,

в геометрической прогрессии

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , так как

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n = b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

первых n членов геометрической прогрессии со знаменателем q ≠ 0 вычисляется по формуле:

А при q = 1 — по формуле

S n = nb 1

Заметим, что если нужно просуммировать члены

b k , b k +1 , . . . , b n ,

то используется формула:

S n - S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

Например,

в геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Если дана геометрическая прогрессия, то величины b 1 , b n , q , n и S n связаны двумя формулами:

Поэтому, если значения каких-либо трёх из этих величин даны, то соответствующие им значения двух остальных величин определяются из этих формул, объединённых в систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Для геометрической прогрессии с первым членом b 1 и знаменателем q имеют место следующие свойства монотонности :

• прогрессия является возрастающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и q > 1;

b 1 < 0 и 0 < q < 1;

• прогрессия является убывающей, если выполнено одно из следующих условий:

b 1 > 0 и 0 < q < 1;

b 1 < 0 и q > 1.

Если q < 0 , то геометрическая прогрессия является знакопеременной: её члены с нечётными номерами имеют тот же знак, что и её первый член, а члены с чётными номерами — противоположный ему знак. Ясно, что знакопеременная геометрическая прогрессия не является монотонной.

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле:

P n = b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n ) n / 2 .

Например,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающей геометрической прогрессией называют бесконечную геометрическую прогрессию, модуль знаменателя которой меньше 1 , то есть

|q | < 1 .

Заметим, что бесконечно убывающая геометрическая прогрессия может не быть убывающей последовательностью. Это соответствует случаю

1 < q < 0 .

При таком знаменателе последовательность знакопеременная. Например,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов прогрессии при неограниченном возрастании числа n . Это число всегда конечно и выражается формулой

S = b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Например,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Связь арифметической и геометрической прогрессий

Арифметическая и геометрическая прогрессии тесно связаны между собой. Рассмотрим лишь два примера.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , то

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Например,

1, 3, 5, . . . — арифметическая прогрессия с разностью 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем q , то

log a b 1 , log a b 2 , log a b 3 , . . . — арифметическая прогрессия с разностью log a q .

Например,

2, 12, 72, . . . — геометрическая прогрессия с знаменателем 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . — арифметическая прогрессия с разностью lg 6 . ◄