الأجسام الهندسية

مقدمة

في القياس الفراغي تتم دراسة الأشكال الموجودة في الفضاء والتي تسمى الهيئات الهندسية.

الأشياء من حولنا تعطينا فكرة عن الأجسام الهندسية. على عكس الأشياء الحقيقية، فإن الأجسام الهندسية هي كائنات خيالية. بوضوح جسم هندسييجب أن نتخيله كجزء من الفضاء الذي تشغله المادة (الطين، الخشب، المعدن، ...) ومحدود بسطح.

وتنقسم جميع الأجسام الهندسية إلى متعددات الوجوهو أجسام مستديرة.

متعددات الوجوه

متعدد السطوحهو جسم هندسي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة.

حوافمتعدد السطوح، تسمى المضلعات التي تشكل سطحه.

ضلوعمن متعدد السطوح، تسمى جوانب وجوه متعدد السطوح.

القمممن متعدد السطوح تسمى رؤوس وجوه متعدد السطوح.

وتنقسم متعددات الوجوه إلى محدبو غير محدب.

يسمى متعدد السطوح محدبإذا كان يقع بالكامل على جانب واحد من أي وجه من وجوهه.

يمارس. تحديد حواف, ضلوعو قممالمكعب الموضح في الشكل.

وتنقسم متعددات الوجوه المحدبة إلى الموشوراتو الأهرامات.

نشور زجاجي

نشور زجاجيهو متعدد السطوح ذو وجهين متساويين ومتوازيين
ن-gons، والباقي نالوجوه متوازية الأضلاع.

اثنين ن- يتم استدعاء gons قواعد المنشورمتوازي الأضلاع – وجوه جانبية. تسمى جوانب الوجوه الجانبية والقواعد أضلاع المنشور، تسمى نهايات الحواف رؤوس المنشور. الحواف الجانبية هي حواف لا تنتمي إلى القواعد.

المضلعات A 1 A 2 ...A n و B 1 B 2 ...B n هي أساسات المنشور.

متوازيات الأضلاع أ 1 أ 2 ب 2 ب 1، ... - الوجوه الجانبية.

خصائص المنشور:

· قاعدتا المنشور متساويتان ومتوازيتان.

· الحواف الجانبية للمنشور متساوية ومتوازية.

المنشور قطرييسمى الجزء الذي يربط بين رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه.

ارتفاع المنشورويسمى بالهبوط العمودي من نقطة القاعدة العليا إلى مستوى القاعدة السفلية.

المنشور يسمى 3-gonal، 4-gonal، ...، ن-الفحم إذا كانت قاعدته
3-جونز، 4-جونز، ...، ن-جونز.

المنشور المباشريسمى المنشور الذي تكون أضلاعه الجانبية متعامدة مع قاعدتيه. الوجوه الجانبية للمنشور المستقيم هي مستطيلات.

المنشور المائلويسمى المنشور غير المستقيم. الوجوه الجانبية للمنشور المائل هي متوازيات الأضلاع.

مع المنشور الصحيحمُسَمًّى مستقيممنشور ذو مضلعات منتظمة في قاعدته.

منطقة سطح كاملالموشوراتويسمى مجموع مساحات جميع وجوهه.

منطقة السطح الجانبيالموشوراتويسمى مجموع مساحات وجوهه الجانبية.

سكامل = سالجانب +2 سأساسي

متعدد السطوح

• متعدد السطوح- هو الجسم الذي يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة.

يسمى متعدد السطوح محدب

• يسمى متعدد السطوح محدب إذا كان يقع على جانب واحد من كل مضلع مسطح على سطحه.

• إقليدس (من المفترض 330-277 قبل الميلاد) - عالم رياضيات من مدرسة الإسكندرية في اليونان القديمة، مؤلف أول أطروحة عن الرياضيات وصلت إلينا، "العناصر" (في 15 كتابًا)

وجوه جانبية.

• المنشور هو متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين يقعان في مستويين مختلفين ويتم دمجهما عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات.تسمى المضلعات Ф و Ф1 الواقعة في مستويات متوازية قواعد المنشور، وتسمى الوجوه المتبقية وجوه جانبية.

• وبالتالي يتكون سطح المنشور من مضلعين متساويين (القواعد) ومتوازيات الأضلاع (الأوجه الجانبية). هناك منشورات ثلاثية ورباعية وخماسية وما إلى ذلك. اعتمادا على عدد رؤوس القاعدة.

• إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى مستقيم ; إذا كانت الحافة الجانبية للمنشور ليست متعامدة مع مستوى قاعدته، فإن هذا المنشور يسمى يميل . المنشور المستقيم له وجوه جانبية مستطيلة.

قواعد المنشور متساوية.

• قواعد المنشور متساوية.

• تقع قواعد المنشور في مستويات متوازية.

• الحواف الجانبية للمنشور متوازية ومتساوية.

• ارتفاع المنشور هو المسافة بين مستويات قاعدتيه.

• اتضح أن المنشور لا يمكن أن يكون مجرد هيئة هندسية، ولكن أيضا تحفة فنية، وكان المنشور الذي أصبح الأساس للوحات بيكاسو، براك، جريس، إلخ.

• اتضح أن ندفة الثلج يمكن أن تأخذ شكل منشور سداسي، لكن هذا يعتمد على درجة حرارة الهواء.

• في القرن الثالث قبل الميلاد. ه. تم بناء منارة حتى تتمكن السفن من عبور الشعاب المرجانية بأمان في طريقها إلى خليج الإسكندرية. في الليل ساعدهم في ذلك انعكاس النيران، وفي النهار عمود من الدخان. وكانت أول منارة في العالم، وظلت قائمة لمدة 1500 عام.

• تم بناء المنارة على جزيرة فاروس الصغيرة في البحر الأبيض المتوسط، قبالة سواحل الإسكندرية. استغرق بناؤه 20 عامًا وتم الانتهاء منه حوالي عام 280 قبل الميلاد.

• في القرن الرابع عشر، دمر زلزال المنارة. تم استخدام حطامها في بناء حصن عسكري. أعيد بناء القلعة عدة مرات ولا تزال قائمة في موقع أول منارة في العالم.

موسولوس كان حاكم كاريا. وكانت عاصمة المنطقة هاليكارناسوس. تزوج موسولوس من أخته أرتميسيا. قرر بناء قبر لنفسه ولملكته. حلم مافسول بنصب تذكاري مهيب يذكر العالم بثروته وقوته. توفي قبل الانتهاء من العمل في القبر. واصلت Artemisia قيادة البناء. تم بناء القبر عام 350 قبل الميلاد. ه. وقد سمي بالضريح على اسم الملك.

تم حفظ رماد الزوجين الملكيين في جرار ذهبية في قبر بقاعدة المبنى. صف من الأسود الحجرية يحرس هذه الغرفة. يشبه الهيكل نفسه معبدًا يونانيًا محاطًا بالأعمدة والتماثيل. في الجزء العلوي من المبنى كان هناك هرم مدرج. وعلى ارتفاع 43م فوق سطح الأرض، توج بنحت لعربة تجرها الخيول. ربما كان هناك تماثيل للملك والملكة عليها.

• وبعد ثمانية عشر قرنا، دمر زلزال الضريح وسويه بالأرض. مرت ثلاثمائة سنة أخرى قبل أن يبدأ علماء الآثار أعمال التنقيب. وفي عام 1857، تم نقل جميع الاكتشافات إلى المتحف البريطاني في لندن. الآن، في المكان الذي كان فيه الضريح ذات يوم، لم يتبق سوى حفنة من الحجارة.

بلورات.

ولا يقتصر الأمر على الأشكال الهندسية التي صنعتها أيدي الإنسان فحسب، بل هناك الكثير منها في الطبيعة نفسها، فتأثير العوامل الطبيعية مثل الرياح والمياه وأشعة الشمس على مظهر سطح الأرض هو أمر عفوي وفوضوي للغاية، إلا أن الكثبان الرملية، الحصى على شاطئ البحر، عادة ما يكون لفوهة البركان الخامد أشكال هندسية منتظمة، وفي بعض الأحيان توجد أحجار في الأرض بهذا الشكل، كما لو أن شخصًا ما قد قطعها بعناية، وطحنها، وصقلها. يكون - بلورات.

متوازي السطوح.

• إذا كانت قاعدة المنشور متوازي الأضلاع فإنه يسمى متوازي السطوح.

• نماذج متوازي السطوح المستطيلة هي:

• غرفة باردة

• اتضح أن بلورات الكالسيت، بغض النظر عن مقدار سحقها إلى أجزاء أصغر، تنقسم دائمًا إلى أجزاء على شكل متوازي السطوح.

• غالبًا ما يكون لمباني المدينة شكل متعددات الوجوه، وكقاعدة عامة، فهي متوازيات عادية، والحلول المعمارية غير المتوقعة فقط هي التي تزين المدن.

• 1. هل المنشور منتظم إذا كانت حوافه متساوية؟

• أ) نعم؛ ج) لا. برر جوابك.

• 2. ارتفاع المنشور الثلاثي المنتظم 6 سم، وضلع قاعدته 4 سم، أوجد المساحة الكلية لهذا المنشور.

• 3. مساحة الوجهين الجانبيين للمنشور الثلاثي المائل هي 40 و 30 سم2. الزاوية بين هذه الوجوه مستقيمة. أوجد مساحة السطح الجانبية للمنشور.

• 4. في المتوازي ABCDA1B1C1D1، يتم رسم المقاطع A1BC وCB1D1. ما النسبة التي تقسم بها هذه المستويات القطر AC1؟

• 1) رباعي السطوح له 4 وجوه، 4 رؤوس، 6 حواف؛

• 2) المكعب - 6 وجوه، 8 رؤوس، 12 حواف؛

• 3) المجسم الثماني - 8 وجوه، 6 رؤوس، 12 حواف؛

• 4) الاثني عشر وجهًا - 12 وجهًا، 20 رأسًا، 30 حرفًا؛

• 5) عشروني الوجوه - 20 وجهًا، 12 رأسًا، 30 حرفًا.

طاليس ميليتسمؤسس الأيوني فيثاغورس ساموس

تبنى العلماء والفلاسفة في اليونان القديمة وأعادوا صياغة إنجازات الثقافة والعلوم في الشرق القديم. سافر طاليس وفيثاغورس وديموقريطس وإيدوكسوس وآخرون إلى مصر وبابل لدراسة الموسيقى والرياضيات وعلم الفلك. وليس من قبيل الصدفة أن ترتبط بدايات العلوم الهندسية اليونانية بالاسم طاليس ميليتسمؤسس الأيونيالمدارس. وكان الأيونيون، الذين سكنوا الأراضي المتاخمة لبلاد الشرق، أول من استعار معرفة الشرق وبدأوا في تطويرها. كان علماء المدرسة الأيونية أول من خضع للمعالجة المنطقية وتنظيم المعلومات الرياضية المستعارة من الشعوب الشرقية القديمة، وخاصة من البابليين. ينسب بروكلس ومؤرخون آخرون العديد من الاكتشافات الهندسية إلى طاليس رئيس هذه المدرسة. حول الموقف فيثاغورس ساموسأما بالنسبة للهندسة، فيكتب بروكلس في تعليقه على عناصر إقليدس ما يلي: “لقد درس هذا العلم (أي الهندسة) ابتداءً من أسسه الأولى، وحاول الحصول على النظريات باستخدام التفكير المنطقي المحض”. يعزو بروكلس إلى فيثاغورس، بالإضافة إلى النظرية المعروفة حول مربع الوتر، بناء خمسة متعددات وجوه منتظمة:

المواد الصلبة عند أفلاطون

المواد الصلبة عند أفلاطون هي متعددات وجوه محدبة، وجميع وجوهها عبارة عن مضلعات منتظمة. جميع الزوايا متعددة السطوح في متعدد السطوح المنتظم متطابقة. على النحو التالي من حساب مجموع الزوايا المستوية عند قمة الرأس، لا يوجد أكثر من خمسة متعددات وجوه منتظمة محدبة. باستخدام الطريقة الموضحة أدناه، يمكن إثبات وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة بالضبط (وهذا ما أثبته إقليدس). وهي رباعية السطوح العادية، والمكعب، والمجسم الثماني، والاثني عشري السطوح.

المجسم الثماني (تين. 3).

• المجسم الثماني -المجسم الثماني؛ جسم يحده ثمانية مثلثات. المجسم الثماني المنتظم يحده ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة. (تين. 3).

• الاثني عشر وجها - الاثني عشر وجهًا، وهو جسم يحده اثني عشر مضلعًا؛ البنتاغون العادي أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة . (الشكل 4).

• عشروني الوجوه -عشرون وجهًا، وهو جسم يحده عشرين مضلعًا؛ ويقتصر المجسم العشروني المنتظم على عشرين مثلثًا متساوي الأضلاع؛ أحد متعددات الوجوه المنتظمة الخمسة. (الشكل 5).

وجوه الاثني عشر وجهًا هي خماسيات منتظمة. تشكل أقطار البنتاغون المنتظم ما يسمى بالبنتاغون النجمي - وهو الشكل الذي كان بمثابة شعار وعلامة تعريف لطلاب فيثاغورس. ومن المعروف أن رابطة فيثاغورس كانت في نفس الوقت مدرسة فلسفية وحزبًا سياسيًا وأخوة دينية. وفقًا للأسطورة ، أصيب أحد الفيثاغوريين بالمرض في أرض أجنبية ولم يتمكن من الدفع لمالك المنزل الذي اعتنى به قبل وفاته. وقام الأخير برسم شكل خماسي على شكل نجمة على جدار منزله. عند رؤية هذه العلامة بعد بضع سنوات، استفسر فيثاغورس متجول آخر من المالك عما حدث وكافأه بسخاء.

• لم يتم الحفاظ على معلومات موثوقة حول حياة فيثاغورس وأنشطته العلمية. يُنسب إليه الفضل في إنشاء عقيدة تشابه الشخصيات. ربما كان من أوائل العلماء الذين نظروا إلى الهندسة ليس كعلم عملي وتطبيقي، بل كعلم منطقي مجرد.

اكتشفت مدرسة فيثاغورس وجود كميات غير قابلة للقياس، أي تلك التي لا يمكن التعبير عن علاقتها بأي عدد صحيح أو كسري. مثال على ذلك هو نسبة طول قطر المربع إلى طول ضلعه، والتي تساوي C2. هذا الرقم ليس عددا عقلانيا (أي عددا صحيحا أو نسبة بين عددين صحيحين) ويسمى غير عقلاني، أي عدد صحيح. غير عقلاني (من النسبة اللاتينية - الموقف).

رباعي الاسطح (رسم بياني 1).

• رباعي الاسطح - رباعي السطوح، وجميع وجوهه مثلثات، أي. الهرم الثلاثي؛ الشكل الرباعي المنتظم يحده أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. أحد المضلعات المنتظمة الخمسة. (رسم بياني 1).

• مكعب أو سداسي منتظم (الصورة 2).

رباعي الاسطح - رباعي السطوح، وجميع وجوهه مثلثات، أي. الهرم الثلاثي؛ الشكل الرباعي المنتظم يحده أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. أحد المضلعات المنتظمة الخمسة. (رسم بياني 1).

• رباعي الاسطح - رباعي السطوح، وجميع وجوهه مثلثات، أي. الهرم الثلاثي؛ الشكل الرباعي المنتظم يحده أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. أحد المضلعات المنتظمة الخمسة. (رسم بياني 1).

• مكعب أو سداسي منتظم - منشور رباعي الزوايا منتظم، متساوي الأضلاع، محدود بستة مربعات. (الصورة 2).

هرم

• هرم- متعدد السطوح يتكون من مضلع مسطح - قاعدة الهرم والنقاط التي لا تقع في مستوى قاعدة الهرم وجميع الأجزاء التي تربط قمة الهرم بنقاط القاعدة

تظهر الصورة هرمًا خماسيًا سابكديوتطورها. تسمى المثلثات التي لها قمة مشتركة وجوه جانبيةالأهرامات؛ القمة المشتركة للوجوه الجانبية - قمةالأهرامات؛ المضلع الذي لا ينتمي إليه هذا الرأس هو أساسالأهرامات؛ حواف الهرم تتقارب عند قمته - الأضلاع الجانبيةالأهرامات. ارتفاعالهرم هو قطعة عمودية ترسم من قمتها إلى مستوى القاعدة، وتكون نهاياتها في الأعلى وعلى مستوى قاعدة الهرم. في الشكل هناك قطعة لذا- ارتفاع الهرم .

• تعريف . يسمى الهرم الذي تكون قاعدته مضلعًا منتظمًا وتسقط رأسه في مركزه منتظمًا.

• يوضح الشكل هرمًا سداسيًا منتظمًا.

تم حساب أحجام حظائر الحبوب والهياكل الأخرى على شكل مكعبات ومنشورات واسطوانات من قبل المصريين والبابليين والصينيين والهنود عن طريق ضرب مساحة القاعدة بالارتفاع. ومع ذلك، لم يكن الشرق القديم يعرف سوى قواعد معينة، تم العثور عليها تجريبيًا، والتي كانت تستخدم للعثور على مجلدات لمساحات الأشكال. وفي وقت لاحق، عندما تشكلت الهندسة كعلم، تم العثور على نهج عام لحساب أحجام متعددات الوجوه.

• من بين العلماء اليونانيين البارزين في القرنين الخامس والرابع. قبل الميلاد، من طور نظرية المجلدات هما ديموقريطوس من أبديرا وإودوكسوس من كنيدوس.

• إقليدس لا يستخدم مصطلح "الحجم". بالنسبة له، مصطلح "مكعب"، على سبيل المثال، يعني أيضًا حجم المكعب. في الكتاب الحادي عشر من "المبادئ" يتم عرض النظريات التالية، من بين أمور أخرى.

• 1. المتوازيات ذات الارتفاعات المتساوية والقواعد المتساوية متساوية في الحجم.

• 2. النسبة بين حجمي متوازيي سطوح متساويين في الارتفاع تساوي النسبة بين مساحات قاعدتيهما.

• 3. في متوازيات السطوح المتساوية المساحة، تتناسب مساحات القواعد عكسيًا مع الارتفاعات.

• تتعلق نظريات إقليدس فقط بمقارنة الحجوم، إذ ربما اعتبر إقليدس أن الحساب المباشر لأحجام الأجسام هو مسألة أدلة عملية في الهندسة. في الأعمال التطبيقية لهرون الإسكندرية، هناك قواعد لحساب حجم المكعب والمنشور ومتوازي السطوح والأشكال المكانية الأخرى.

• المنشور الذي قاعدته متوازي الأضلاع يسمى متوازي السطوح.

• حسب التعريف متوازي السطوح هو منشور رباعي الزوايا، جميع وجوهه متوازية الأضلاع. يمكن أن تكون متوازيات الأضلاع، مثل المنشورات مستقيمو يميل. ويبين الشكل 1 متوازي سطوح مائل، ويبين الشكل 2 متوازي سطوح مستقيم.

• يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة متوازي مستطيل. جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات. نماذج متوازي المستطيلات هي حجرة الدراسة، والطوب، وعلبة الثقاب.

• تسمى أطوال الحواف الثلاثة لمتوازي السطوح المستطيل ذو النهاية المشتركة قياسات. على سبيل المثال، هناك علب الثقاب بأبعاد 15، 35، 50 ملم. المكعب هو متوازي مستطيلات متساوية الأبعاد. جميع أوجه المكعب الستة عبارة عن مربعات متساوية.

• دعونا نفكر في بعض خصائص متوازي السطوح.

• نظرية. يكون متوازي السطوح متماثلًا حول منتصف قطره.

• ويتبع مباشرة من النظرية خصائص هامة لمتوازي السطوح:

• 1. كل قطعة طرفيها تابعان لسطح موازي السطوح ويمران بوسط قطره يقسمانه إلى نصفين؛ على وجه الخصوص، تتقاطع جميع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم بها. 2. الأوجه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية

"أنواع متعددات الوجوه" - متعددات الوجوه النجمية العادية. الاثني عشر وجها. نجمي صغير ذو اثني عشر وجهًا. متعددات الوجوه. المكعب. المواد الصلبة عند أفلاطون. منشوري. هرم. عشروني الوجوه. المجسم الثماني. جسم محدود بعدد محدود من المستويات. نجم مجسم مجسم. وجهين. قانون المعاملة بالمثل. رياضياتي. رباعي الاسطح.

"جسم متعدد السطوح هندسي" - متعدد السطوح. الموشورات. وجود كميات غير قابلة للقياس. بوانكاريه. حافة. قياس الحجم. وجوه متوازية. مستطيلة متوازية. كثيرا ما نرى الهرم في الشارع. متعدد السطوح. حقائق مثيرة للاهتمام. منارة الإسكندرية. الأشكال الهندسية. المسافة بين الطائرات. ممفيس.

"شلالات متعددات الوجوه" - حافة المكعب. حافة المجسم الثماني. المكعب والاثني عشر وجها. وحدة رباعية السطوح. الاثني عشري الوجوه والاثنا عشري الوجوه. ثنائي السطوح ورباعي السطوح. المجسم الثماني والإيكوساهيدرون. متعدد السطوح. متعدد السطوح منتظم. المجسم الثماني والاثني عشر. عشروني الوجوه وثماني الوجوه. وحدة المجسمات. رباعي السطوح والإيكوساهيدرون. وحدة الاثني عشر وجها. المجسم الثماني والرباعي. المكعب ورباعي الاسطح.

"القياس المجسم "متعددات الوجوه" - متعددات الوجوه في الهندسة المعمارية. قسم متعددات الوجوه. قم بتسمية متعدد السطوح. الهرم الأكبر بالجيزة. المواد الصلبة الأفلاطونية. تصحيح السلسلة المنطقية. متعدد السطوح. مرجع تاريخي. أفضل ساعة من متعددات الوجوه. حل المشاكل. أهداف الدرس. "اللعب مع المتفرجين" هل الأشكال الهندسية وأسمائها تتوافق؟

"الأشكال النجمية لمتعددات الوجوه" - اثنا عشري الوجوه النجمية العظيمة. متعدد السطوح هو مبين في الشكل. متعددات الوجوه النجمية. الأضلاع الجانبية. المكعبات النجمية. نجمي مبتورة عشروني الوجوه. متعدد السطوح تم الحصول عليه عن طريق اقتطاع المجسم النجمي المقطوع. قمم الاثني عشري النجمي الكبير. النجمية عشرونية الوجوه. الاثني عشر وجها عظيما.

"مقطع من متعدد السطوح بالمستوى" - قسم من متعددات السطوح. المضلعات. شكلت التخفيضات البنتاغون. أثر مستوى القطع. قسم. دعونا نجد نقطة تقاطع الخطوط. طائرة. بناء مقطع عرضي للمكعب. بناء مقطع عرضي للمنشور. نجد هذه النقطة. نشور زجاجي. طرق بناء الأقسام. السداسي الناتج. قسم من المكعب. الطريقة البديهية.

هناك 29 عرضا في المجموع

عند دراسة المضلعات، نتحدث عن المضلع المسطح، أي المضلع نفسه ومنطقته الداخلية.

نفس الشيء يحدث في القياس المجسم. وبالقياس على مفهوم المضلع المسطح، تم تقديم مفهوم الجسم وسطحه.

تسمى نقطة الشكل الهندسي داخلية إذا كانت هناك كرة ذات مركز في هذه النقطة تنتمي بالكامل إلى هذا الشكل. ويسمى هذا الرقم المنطقة إذا كان كل شيء

نقاطه داخلية ويمكن ربط أي نقطتين منه بخط متقطع ينتمي بالكامل إلى الشكل.

تسمى النقطة في الفضاء بالنقطة الحدودية لشكل معين إذا كانت أي كرة ذات مركز في هذه النقطة تحتوي على نقطتين تنتميان إلى الشكل ونقاط لا تنتمي إليه. تشكل النقاط الحدودية لمنطقة ما حدود المنطقة.

الجسم هو منطقة محدودة مع حدودها. تسمى حدود الجسم بسطح الجسم. يسمى الجسم بسيطًا إذا كان من الممكن تقسيمه إلى عدد محدود من الأهرامات المثلثية.

في أبسط الحالات، الجسم الدوراني هو الجسم الذي تتقاطع مستوياته المتعامدة مع خط مستقيم معين (محور الدوران) في دوائر مراكزها على هذا الخط المستقيم. تعتبر الأسطوانة والمخروط والكرة أمثلة على أجسام الثورة.

48. زوايا متعددة السطوح. متعددات الوجوه.

الزاوية ثنائية السطوح هي شكل يتكون من نصفي مستويين مع خط محيط مشترك. تسمى أنصاف المستويات الوجوه، ويسمى الخط المستقيم الذي يحدها حافة زاوية ثنائية السطوح.

يوضح الشكل 142 زاوية ثنائية السطوح ذات الحافة a والوجوه

المستوى المتعامد على حافة الزاوية ثنائية السطوح يتقاطع مع أوجهه على طول نصفين من الخطين. تسمى الزاوية التي تشكلها هذه الخطوط النصفية بالزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح. يعتبر قياس الزاوية ثنائية السطوح هو قياس الزاوية الخطية المقابلة لها. إذا تم رسم مستوى y من خلال النقطة A من الحافة a لزاوية ثنائية السطوح، بشكل متعامد مع هذه الحافة، فسوف يتقاطع المستويان a و 0 على طول الزاوية الخطية نصف الخط لزاوية ثنائي السطوح المعينة. قياس درجة هذه الزاوية الخطية هو قياس درجة زاوية ثنائي السطوح. لا يعتمد قياس الزاوية ثنائية السطوح على اختيار الزاوية الخطية.

الزاوية ثلاثية السطوح هي شكل مكون من ثلاث زوايا مسطحة، وتسمى هذه الزوايا بأوجه زاوية ثلاثية السطوح، وتسمى أضلاعها بالحواف. يسمى الرأس المشترك للزوايا المستوية رأس الزاوية ثلاثية السطوح. تسمى الزوايا ثنائية السطوح التي تتكون من الوجوه وامتداداتها بزوايا ثنائي السطوح لزاوية ثلاثية السطوح.

يتم تعريف مفهوم الزاوية متعددة السطوح بشكل مشابه كشكل مكون من زوايا مستوية، وبالنسبة للزاوية متعددة السطوح، يتم تعريف مفاهيم الوجوه والحواف والزوايا ثنائية السطوح بنفس الطريقة المتبعة في الزاوية ثلاثية السطوح.

متعدد السطوح هو جسم يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات المسطحة (الشكل 145).

يسمى متعدد السطوح محدبًا إذا كان موجودًا على جانب واحد من مستوى كل مضلع على سطحه (الشكل 145، أ، ب). يسمى الجزء المشترك من هذا المستوى وسطح متعدد السطوح المحدب بالوجه. وجوه متعدد السطوح المحدب هي مضلعات محدبة. تسمى جوانب الوجوه حواف متعدد السطوح، وتسمى القمم رؤوس متعدد السطوح.

49. المنشور. متوازي الأضلاع. مكعب

المنشور هو متعدد السطوح يتكون من مضلعين مسطحين، يتم دمجهما عن طريق ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه المضلعات. تسمى المضلعات قواعد المنشور، وتسمى الأجزاء التي تربط القمم المقابلة بالحواف الجانبية للمنشور (الشكل 146).

بما أن النقل المتوازي هو حركة، فإن قاعدتي المنشور متساويتان. نظرًا لأنه أثناء الترجمة المتوازية، تنتقل الطائرة إلى مستوى موازٍ (أو إلى نفسها)، إذن

تقع قواعد المنشور في مستويات متوازية. نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي، يتم إزاحة النقاط على طول الخطوط المتوازية (أو المتطابقة) بنفس المسافة، فإن الحواف الجانبية للمنشور تكون متوازية ومتساوية.

الشكل 147، يظهر منشورًا رباعي الزوايا، المضلعات المستوية ABCD ويتم دمجها بواسطة الترجمة المتوازية المقابلة وهي قواعد المنشور، والقطاعات AA هي الحواف الجانبية للمنشور. قواعد المنشور متساوية (الترجمة الموازية هي حركة وتحول الشكل إلى شكل متساو، الفقرة 79). الأضلاع الجانبية متوازية ومتساوية.

يتكون سطح المنشور من القاعدة والسطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي من متوازيات الأضلاع. في كل من متوازيات الأضلاع هذه، الجانبان هما الجانبان المقابلان للقاعدتين، والجانبان الآخران هما الحواف الجانبية المتجاورة للمنشور.

في الشكل 147، يتكون السطح الجانبي للمنشور من متوازيات الأضلاع، ويتكون السطح الكامل من القواعد ومتوازيات الأضلاع المذكورة أعلاه.

ارتفاع المنشور هو المسافة بين مستويات قاعدتيه. يُطلق على القطعة التي تربط بين رأسين لا ينتميان إلى نفس الوجه اسم المنشور القطري. المقطع القطري للمنشور هو الجزء من مستواه الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتميان إلى نفس الوجه.

يوضح الشكل 147أ منشورًا بارتفاعه وأحد أقطاره. القسم هو أحد الأقسام القطرية لهذا المنشور.

يسمى المنشور مستقيماً إذا كانت حوافه الجانبية متعامدة مع قاعدتيه. وإلا يسمى المنشور

يميل يسمى المنشور القائم منتظما إذا كانت قواعده مضلعات منتظمة.

الشكل 147، أ يُظهر منشورًا مائلًا، والشكل 147، ب - منشورًا مستقيمًا، هنا تكون الحافة متعامدة مع قواعد المنشور. ويبين الشكل 148 المنشورات المنتظمة، وقواعدها هي على التوالي مثلث منتظم، ومربع، وسداسي منتظم.

إذا كانت قواعد المنشور متوازية الأضلاع، فإنه يسمى متوازي السطوح. جميع وجوه متوازي السطوح هي متوازيات أضلاع. الشكل 147، أ يظهر متوازي سطوح مائل، والشكل 147، ب - متوازي سطوح مستقيم.

تسمى وجوه متوازي السطوح التي ليس لها رؤوس مشتركة بالعكس. وفي الشكل 147، والوجوه متقابلة.

من الممكن إثبات بعض خصائص متوازي السطوح.

الوجوه المتقابلة لمتوازي السطوح متوازية ومتساوية.

تتقاطع أقطار متوازي السطوح عند نقطة واحدة وتنقسم إلى نصفين عند نقطة التقاطع.

نقطة تقاطع قطري متوازي السطوح هي مركز تماثله.

يسمى متوازي السطوح الأيمن الذي قاعدته مستطيلة بمكعب. جميع وجوه متوازي السطوح المستطيل هي مستطيلات.

يسمى المتوازي المستطيل الذي تكون جميع أضلاعه متساوية بالمكعب.

تسمى أطوال الحواف غير المتوازية لمتوازي السطوح المستطيل بأبعاده أو أبعاده الخطية. متوازي السطوح المستطيل له ثلاثة أبعاد خطية.

بالنسبة لمتوازي السطوح المستطيل تكون النظرية التالية صحيحة:

في متوازي السطوح المستطيل، مربع أي قطري يساوي مجموع مربعات أبعاده الخطية الثلاثة.

على سبيل المثال، في المكعب ذو الحافة a تكون الأقطار متساوية:

50. الهرم.

الهرم هو متعدد السطوح يتكون من مضلع مسطح - قاعدة الهرم، ونقطة لا تقع في مستوى القاعدة - قمة الهرم وجميع الأجزاء التي تربط القمة بنقاط القاعدة (الشكل 1). 150). تسمى الأجزاء التي تربط قمة الهرم برؤوس القاعدة بالحواف الجانبية. يوضح الشكل 150 أ هرم SABCD. الشكل الرباعي ABCD هو قاعدة الهرم، والنقطة S هي قمة الهرم، والأجزاء SA وSB وSC وSD هي حواف الهرم.

ارتفاع الهرم هو العمودي النازل من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة. في الشكل 150، SO هو ارتفاع الهرم.

يسمى الهرم زاوياً إذا كانت قاعدته

مربع. ويسمى الهرم الثلاثي أيضًا رباعي السطوح.

الشكل 151، أ يظهر الهرم الثلاثي، أو رباعي الأسطح، الشكل 151، ب - رباعي الزوايا، الشكل 151، ج - سداسي.

المستوى الموازي لقاعدة الهرم والمتقاطع معها يقطع هرمًا مشابهًا.

يسمى الهرم منتظما إذا كانت قاعدته مضلعا منتظما وقاعدة ارتفاعه تتطابق مع مركز هذا المضلع. ويبين الشكل 151 الأهرامات المنتظمة. الهرم العادي له أضلاع جانبية متساوية؛ ولذلك فإن الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين. ويسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم، المرسوم من قمته، بالارتفاع.

وفقًا لـ T.3.4، فإن المستوى a، الموازي للمستوى 0 من قاعدة الهرم ويتقاطع مع الهرم، يقطع هرمًا مشابهًا منه. والجزء الآخر من الهرم عبارة عن متعدد السطوح يسمى الهرم المقطوع. تسمى وجوه الهرم المقطوع الموجودة في مستويات متوازية قواعد الهرم المقطوع، وتسمى الوجوه المتبقية الوجوه الجانبية. قواعد الهرم المقطوع مضلعات متشابهة (علاوة على ذلك، متجانسة)، والوجوه الجانبية شبه منحرفة. ويبين الشكل 152 الهرم المقطوع

51. متعددات الوجوه العادية.

يُسمى متعدد السطوح المحدب منتظمًا إذا كانت وجوهه عبارة عن مضلعات منتظمة لها نفس عدد الأضلاع ونفس عدد الحواف المتقاربة عند كل قمة من متعدد السطوح.

هناك خمسة أنواع من متعددات السطوح المحدبة المنتظمة (الشكل 154): رباعي السطوح العادي، المكعب، المجسم الثماني، الاثني عشري الوجوه، العشروني الوجوه. تمت مناقشة رباعي السطوح المنتظم والمكعب سابقًا (الفقرات 49 و 50). تلتقي ثلاث حواف عند كل قمة من رباعي الأسطح والمكعب المنتظم.

وجوه المجسم الثماني هي مثلثات منتظمة. وتتلاقى أربعة حواف عند كل من رؤوسها.

وجوه الاثني عشر وجهًا هي خماسيات منتظمة. ثلاث حواف تتلاقى عند كل قمة.

وجوه المجسم العشروني هي مثلثات منتظمة، ولكن على عكس رباعي السطوح والمجسم الثماني، تتلاقى خمس حواف في كل قمة.

مقدمة

يسمى السطح المكون من مضلعات ويحيط ببعض الأجسام الهندسية بسطح متعدد السطوح أو متعدد السطوح.

متعدد السطوح هو جسم محدد يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات. تسمى المضلعات التي تربط متعدد السطوح بالوجوه، وتسمى خطوط تقاطع الوجوه بالحواف.

يمكن أن يكون لمتعددات الوجوه بنية متنوعة ومعقدة للغاية. تعتبر الهياكل المختلفة، مثل المنازل التي يتم بناؤها باستخدام الطوب والكتل الخرسانية، أمثلة على متعددات الوجوه. يمكن العثور على أمثلة أخرى بين الأثاث، مثل الطاولة. في الكيمياء، شكل جزيئات الهيدروكربون هو رباعي السطوح، منتظم عشرين وجها، مكعب. في الفيزياء، تعتبر البلورات أمثلة على متعددات الوجوه.

منذ العصور القديمة، ارتبطت أفكار الجمال بالتماثل. ربما يفسر هذا اهتمام الناس بمتعددات الوجوه - وهي رموز تناظر مذهلة جذبت انتباه المفكرين المتميزين الذين اندهشوا من جمال هذه الأشكال وكمالها وتناغمها.

من المعروف أن الإشارات الأولى لمتعددات الوجوه تعود إلى ثلاثة آلاف سنة قبل الميلاد في مصر وبابل. ويكفي أن نذكر الأهرامات المصرية الشهيرة وأشهرها هرم خوفو. وهو هرم منتظم، في قاعدته مربع طول ضلعه 233 م، ويصل ارتفاعه إلى 146.5 م، وليس من قبيل الصدفة أن يقولوا إن هرم خوفو هو رسالة صامتة في الهندسة.

يعود تاريخ متعددات الوجوه المنتظمة إلى العصور القديمة. ابتداءً من القرن السابع قبل الميلاد، تم إنشاء مدارس فلسفية في اليونان القديمة، حيث حدث انتقال تدريجي من الهندسة العملية إلى الهندسة الفلسفية. لقد اكتسب التفكير الذي يمكن من خلاله الحصول على خصائص هندسية جديدة أهمية كبيرة في هذه المدارس.

ومن أولى المدارس وأشهرها المدرسة الفيثاغورية، والتي سميت على اسم مؤسسها فيثاغورس. كانت العلامة المميزة للفيثاغوريين هي النجم الخماسي، وفي لغة الرياضيات هو خماسي منتظم غير محدب أو على شكل نجمة. تم تكليف النجم الخماسي بالقدرة على حماية الإنسان من الأرواح الشريرة.

واعتقد الفيثاغوريون أن المادة تتكون من أربعة عناصر أساسية: النار، والتراب، والهواء، والماء. وأرجعوا وجود خمسة متعددات وجوه منتظمة إلى بنية المادة والكون. ووفقاً لهذا الرأي فإن ذرات العناصر الأساسية يجب أن تتخذ شكل أجسام مختلفة:

§ الكون هو اثني عشر وجها

§ الأرض - مكعب

§ النار - رباعي الاسطح

§ الماء - عشروني الوجوه

§ الهواء - المجسم الثماني

في وقت لاحق، تم تحديد تدريس فيثاغورس حول متعددات الوجوه العادية في أعماله من قبل عالم يوناني قديم آخر، الفيلسوف المثالي أفلاطون. منذ ذلك الحين، أصبحت متعددات الوجوه المنتظمة تُعرف بالمواد الصلبة الأفلاطونية.

المواد الصلبة الأفلاطونية هي متعددات وجوه محدبة متجانسة منتظمة، أي متعددات وجوه محدبة، جميع أوجهها وزواياها متساوية، وأوجهها مضلعات منتظمة. يتقارب نفس العدد من الحواف في كل قمة لمتعدد السطوح المنتظم. جميع الزوايا ثنائية السطوح عند الحواف وجميع الزوايا متعددة السطوح عند رؤوس مضلع منتظم متساوية. المواد الصلبة الأفلاطونية هي نظير ثلاثي الأبعاد للمضلعات المنتظمة المسطحة.

نظرية متعددات الوجوه هي فرع حديث من الرياضيات. يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالطوبولوجيا ونظرية الرسم البياني، وله أهمية كبيرة لكل من البحث النظري في الهندسة والتطبيقات العملية في فروع الرياضيات الأخرى، على سبيل المثال، الجبر ونظرية الأعداد والرياضيات التطبيقية - البرمجة الخطية ونظرية التحكم الأمثل. وبالتالي، فإن هذا الموضوع ذو صلة، والمعرفة حول هذه القضية مهمة للمجتمع الحديث.

الجزء الرئيسي

متعدد السطوح هو جسم محدد يتكون سطحه من عدد محدود من المضلعات.

دعونا نعطي تعريفًا لمتعدد السطوح يعادل التعريف الأول لمتعدد السطوح.

متعدد السطوح – هذا هو الشكل الذي يمثل اتحاد عدد محدود من رباعيات الأسطح التي يتم استيفاء الشروط التالية لها:

1) لا يحتوي كل رباعي وجوه على نقاط مشتركة، أو أن يكون لهما قمة مشتركة، أو حافة مشتركة فقط، أو وجه مشترك بالكامل؛

2) من كل رباعي السطوح إلى آخر، يمكنك السير على طول سلسلة من رباعيات السطوح، حيث يكون كل واحد لاحق مجاورًا للسابق على طول الوجه بالكامل.

عناصر متعددة السطوح

وجه متعدد السطوح هو مضلع معين (المضلع عبارة عن منطقة مغلقة محدودة تتكون حدودها من عدد محدود من الأجزاء).

تسمى جوانب الوجوه بحواف متعدد السطوح، وتسمى رؤوس الوجوه برؤوس متعدد السطوح. عناصر متعدد السطوح، بالإضافة إلى رؤوسه وحوافه وأوجهه، تشمل أيضًا الزوايا المسطحة لأوجهه والزوايا ثنائية السطوح عند حوافه. يتم تحديد زاوية ثنائي السطوح عند حافة متعدد السطوح من خلال اقتراب أوجهه من هذه الحافة.

تصنيف متعددات الوجوه

متعدد السطوح محدب -هو متعدد السطوح، يمكن توصيل أي نقطتين منه بقطعة. تتمتع متعددات الوجوه المحدبة بالعديد من الخصائص الرائعة.

نظرية أويلر.لأي متعدد السطوح محدب في آر + جي = 2،

أين في - عدد رؤوسها، ر - عدد أضلاعه، ز - عدد وجوهه .

نظرية كوشي.اثنان من متعددات الوجوه المحدبة المغلقة، المكونة بشكل متطابق من وجوه متساوية على التوالي، متساوية.

يعتبر متعدد السطوح المحدب منتظمًا إذا كانت جميع وجوهه مضلعات منتظمة متساوية ونفس عدد الحواف متقاربة عند كل من رؤوسه.

متعدد السطوح منتظم

يسمى متعدد السطوح منتظمًا إذا كان أولاً محدبًا ، وثانيًا ، جميع وجوهه مضلعات منتظمة متساوية ، وثالثًا ، نفس عدد الوجوه التي تلتقي عند كل من رؤوسه ، ورابعًا ، جميع زواياه ثنائية السطوح متساوية.

هناك خمسة متعددات وجوه منتظمة محدبة - رباعي السطوح، وثماني السطوح، وعشروني الوجوه بأوجه مثلثة، والمكعب (السداسي) بأوجه مربعة، والاثني عشري الوجوه بأوجه خماسية. والدليل على هذه الحقيقة معروف منذ أكثر من ألفي عام؛ بهذا الدليل ودراسة الأجسام الخمسة المنتظمة، تم الانتهاء من عناصر إقليدس (عالم الرياضيات اليوناني القديم، مؤلف أول أطروحات نظرية في الرياضيات وصلت إلينا). لماذا حصلت متعددات الوجوه العادية على مثل هذه الأسماء؟ ويرجع ذلك إلى عدد وجوههم. رباعي السطوح له 4 وجوه، مترجمة من اليونانية "رباعي" - أربعة، "مسطح" - وجه. الشكل السداسي (المكعب) له 6 وجوه، و"السداسي" له ستة وجوه؛ المجسم الثماني - المجسم الثماني، "أوكتو" - ثمانية؛ اثني عشر وجهًا - اثني عشر وجهًا ، "اثنا عشر وجهًا" - اثني عشر ؛ للمجسم العشريني 20 وجهًا وللإيكوسي عشرين وجهًا.

2.3. أنواع متعددات الوجوه المنتظمة:

1) رباعي الاسطح منتظم(مكون من أربعة مثلثات متساوية الأضلاع. كل رأس من رؤوسه هو رأس ثلاثة مثلثات. وبالتالي فإن مجموع زوايا المستوى عند كل رأس هو 180 0)؛

2)مكعب- متوازي الأضلاع، وجوهه كلها مربعة. المكعب مكون من ستة مربعات. كل رأس من رؤوس المكعب هو رأس ثلاثة مربعات. وبالتالي، فإن مجموع زوايا المستوى عند كل قمة هو 270 0.

3) المجسم المنتظمأو ببساطة المجسم الثماني– متعدد السطوح له ثمانية وجوه مثلثة منتظمة وأربعة وجوه تلتقي في كل قمة. يتكون المجسم الثماني من ثمانية مثلثات متساوية الأضلاع. كل قمة من المجسم الثماني هي رؤوس أربعة مثلثات. ومن ثم، فإن مجموع الزوايا المستوية عند كل رأس هو 240 0. ويمكن بناؤه عن طريق طي قاعدتي هرمين، قاعدتاهما مربعتان، وأوجههما الجانبية مثلثات منتظمة. يمكن الحصول على حواف المجسم الثماني عن طريق ربط مراكز الوجوه المجاورة للمكعب، لكن إذا قمنا بربط مراكز الوجوه المجاورة للمجسم الثماني العادي، نحصل على حواف المكعب. يقولون أن المكعب والمجسم الثماني ثنائيان لبعضهما البعض.

4)عشروني الوجوه- مكونة من عشرين مثلثاً متساوي الأضلاع. كل قمة من رؤوس المجسم العشريني هي رؤوس خمسة مثلثات. وبالتالي فإن مجموع زوايا المستوى عند كل قمة يساوي 300 0.

5) الاثني عشر وجها- متعدد السطوح يتكون من اثني عشر مضلعًا خماسيًا منتظمًا. كل قمة من رؤوس الاثني عشر وجهًا هي قمة ثلاثة خماسيات منتظمة. وبالتالي، فإن مجموع زوايا المستوى عند كل قمة هو 324 0.

إن الاثني عشري الوجوه والمجسمات الثنائية أيضًا ثنائيان لبعضهما البعض، بمعنى أنه من خلال ربط مراكز الوجوه المتجاورة للمجسم العشروني مع الأجزاء، نحصل على الاثني عشري الوجوه، والعكس صحيح.

رباعي الاسطح العادي هو ثنائي لنفسه.

علاوة على ذلك، لا يوجد متعدد وجوه منتظم تكون وجوهه عبارة عن أشكال سداسية وسباعية وn-gons بشكل عام بالنسبة لـ n ≥ 6.

متعدد السطوح المنتظم هو متعدد السطوح تكون فيه جميع الوجوه مضلعات منتظمة متساوية وجميع زوايا ثنائي السطوح متساوية. ولكن هناك أيضًا متعددات السطوح تكون فيها جميع زوايا متعددات السطوح متساوية، وتكون الوجوه منتظمة ولكنها متقابلة للمضلعات المنتظمة. تسمى متعددات الوجوه من هذا النوع بمتعددات الوجوه شبه المنتظمة متساوية الزوايا. تم اكتشاف متعددات الوجوه من هذا النوع لأول مرة بواسطة أرخميدس. ووصف بالتفصيل 13 متعدد الوجوه، والتي سميت فيما بعد جثث أرخميدس تكريما للعالم العظيم. هذه هي رباعي السطوح المقطوع، المجسم المجسم المقطوع، العشروني المسطح المقطوع، المكعب المقطوع، الاثني عشري الوجوه المقطوع، المكعب المسطح، الإيكوزيديديكاهيدرون، المكعب المكعب المقطوع، الإيكوزيديديكاهيدرون المقطوع، المعيني المسطح، المكعب المعيني (الأفطس) المكعب، " ازدراء" (أنف كور) ثنائي السطوح.

2.4. متعددات الوجوه شبه المنتظمة أو المواد الصلبة الأرخميدية هي متعددات وجوه محدبة لها خاصيتين:

1. جميع الوجوه هي مضلعات منتظمة من نوعين أو أكثر (إذا كانت جميع الوجوه مضلعات منتظمة من نفس النوع، فهو متعدد وجوه منتظم).

2. بالنسبة لأي زوج من القمم، هناك تناظر لمتعدد السطوح (أي حركة تحول متعدد السطوح إلى نفسه) وتنقل قمة إلى أخرى. وعلى وجه الخصوص، تكون جميع زوايا الرأس متعددة السطوح متطابقة.

بالإضافة إلى متعددات الوجوه شبه المنتظمة، من متعددات الوجوه العادية - المواد الصلبة الأفلاطونية - يمكنك الحصول على ما يسمى متعددات الوجوه النجمية العادية. هناك أربعة منهم فقط، ويطلق عليهم أيضًا اسم أجسام كيبلر-بوينسو. اكتشف كبلر اثني عشر وجهًا صغيرًا، أطلق عليه اسم الشائك أو القنفذ، واثنا عشر وجهًا كبيرًا. اكتشف بوانسوت اثنين آخرين من متعددات الوجوه النجمية المنتظمة، على التوالي، مزدوجة للأول اثنان: الاثني عشري المسطح النجمي الكبير والمجسم العشروني الكبير.

اثنان من رباعيات السطوح يمران عبر بعضهما البعض يشكلان مجسمًا مثمنًا. أعطى يوهانس كيبلر هذا الشكل اسم "النجمة الثماني" - "النجم المثمن". وهي موجودة أيضًا في الطبيعة: وهذا ما يسمى بالبلورة المزدوجة.

في تعريف متعدد السطوح المنتظم، لم يتم التأكيد عمدًا على كلمة "محدب" - بالاعتماد على الوضوح الواضح. ويعني شرطا إضافيا: "وكل وجوهها تقع على جانب واحد من الطائرة المارة بأي منها". إذا تخلينا عن هذا القيد، فإلى المواد الصلبة الأفلاطونية، بالإضافة إلى "المجسم الثماني الممتد"، سيتعين علينا إضافة أربعة متعددات وجوه أخرى (يطلق عليها اسم المواد الصلبة Kepler-Poinsot)، كل منها سيكون "منتظمًا تقريبًا". وكلها حصلت عليها "بطولة" بلاتونوف الجسم، أي بمد أطرافه حتى تتقاطع مع بعضها البعض، ولذلك تسمى نجمية. المكعب ورباعي السطوح لا يولدان أشكالًا جديدة - وجوههما، بغض النظر عن مدى استمرارك، لا تتقاطع.

إذا قمت بتمديد جميع أوجه المجسم الثماني حتى تتقاطع مع بعضها البعض، فسوف تحصل على الشكل الذي يظهر عندما يتداخل رباعيان للأسطح - "النجمة الثماني" والتي تسمى "الممتدة" المجسم الثماني."

إن المجسمات العشرونية والاثني عشرية تعطي للعالم أربعة "متعددات وجوه منتظمة تقريبًا" في وقت واحد. واحد منهم هو الاثني عشري النجمي الصغير، الذي حصل عليه يوهانس كيبلر لأول مرة.

لعدة قرون، لم يعترف علماء الرياضيات بحق جميع أنواع النجوم في أن تسمى مضلعات بسبب تقاطع أضلاعها. لم يطرد لودفيج شلايفلي جسمًا هندسيًا من عائلة متعددات الوجوه لمجرد أن وجوهه تتقاطع مع بعضها البعض؛ ومع ذلك، فقد ظل مصرًا بمجرد أن تحول الحديث إلى النجمي الصغير ذو الاثني عشر وجهًا. وكانت حجته بسيطة وهامة: هذا الحيوان الكبليري لا يطيع صيغة أويلر! تتشكل أشواكها اثني عشر وجهًا وثلاثين حرفًا واثني عشر رأسًا، وبالتالي فإن B+G-R لا يساوي اثنين على الإطلاق.

لقد كان شلفلي على حق وعلى خطأ. بالطبع، القنفذ الهندسي ليس شائكًا لدرجة أنه يتمرد على الصيغة المعصومة من الخطأ. كل ما عليك فعله هو ألا تأخذ في الاعتبار أنه يتكون من اثني عشر وجهًا متقاطعًا على شكل نجمة، ولكن انظر إليه كجسم هندسي بسيط وصادق يتكون من 60 مثلثًا، له 90 حرفًا و32 رأسًا.

إذن B+G-R=32+60-90 يساوي، كما هو متوقع، 2. لكن كلمة "صحيح" لا تنطبق على هذا متعدد السطوح - بعد كل شيء، وجوهه الآن ليست متساوية الأضلاع، ولكنها مجرد مثلثات متساوية الساقين. كبلر لم يفعل ذلك أدرك أن الرقم الذي حصل عليه كان مزدوجًا.

تم بناء متعدد السطوح، الذي يسمى "الاثني عشري الكبير"، من قبل عالم الهندسة الفرنسي لويس بوينسو بعد مائتي عام من أرقام نجوم كيبلر.

تم وصف المجسم العشروني الكبير لأول مرة بواسطة لويس بوانسوت في عام 1809. ومرة أخرى، ترك كيبلر، بعد أن رأى اثني عشر وجهًا نجميًا كبيرًا، شرف اكتشاف الشكل الثاني للويس بوانسوت. هذه الأرقام أيضًا تخضع نصفها لصيغة أويلر.

الاستخدام العملي

متعددات الوجوه في الطبيعة

تعد متعددات الوجوه المنتظمة من أكثر الأشكال فائدة، ولهذا السبب فهي منتشرة على نطاق واسع في الطبيعة. وهذا ما يؤكده شكل بعض البلورات. على سبيل المثال، بلورات ملح الطعام تكون على شكل مكعب. في إنتاج الألومنيوم، يتم استخدام كوارتز الألومنيوم والبوتاسيوم، والبلورة المفردة التي لها شكل المجسم الثماني العادي. لا يمكن إنتاج حامض الكبريتيك والحديد وأنواع خاصة من الأسمنت بدون البيريت الكبريتي. بلورات هذه المادة الكيميائية لها شكل اثنا عشري الوجوه. يتم استخدام كبريتات الصوديوم الأنتيمون، وهي مادة تم تصنيعها من قبل العلماء، في التفاعلات الكيميائية المختلفة. بلورة كبريتات أنتيمون الصوديوم لها شكل رباعي السطوح. آخر متعدد السطوح المنتظم، وهو المجسم العشروني، يحمل شكل بلورات البورون.

تعتبر متعددات الوجوه على شكل نجمة مزخرفة للغاية، مما يسمح باستخدامها على نطاق واسع في صناعة المجوهرات في صناعة جميع أنواع المجوهرات. كما أنها تستخدم في الهندسة المعمارية. العديد من أشكال متعددات الوجوه النجمية تقترحها الطبيعة نفسها. رقاقات الثلج هي متعددات الوجوه على شكل نجمة. منذ العصور القديمة، حاول الناس وصف جميع الأنواع الممكنة من رقاقات الثلج وقاموا بتجميع أطالس خاصة. تُعرف الآن عدة آلاف من الأنواع المختلفة من رقاقات الثلج.

توجد أيضًا متعددات الوجوه المنتظمة في الطبيعة الحية. على سبيل المثال، الهيكل العظمي للكائن وحيد الخلية Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) له شكل عشروني الوجوه. تعيش معظم الفيوداريا في أعماق البحر وتكون بمثابة فريسة للأسماك المرجانية. لكن أبسط حيوان يحمي نفسه باثني عشر شوكة تخرج من قمم الهيكل العظمي الاثنتي عشرة. يبدو أشبه بنجم متعدد السطوح.

يمكننا أيضًا ملاحظة متعددات الوجوه على شكل زهور. ومن الأمثلة الصارخة على ذلك الصبار.

معلومات ذات صله.