Геометрийн биетүүд

Оршил

Стереометрийн хувьд орон зай дахь дүрсүүдийг судалдаг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг геометрийн биетүүд.

Бидний эргэн тойрон дахь объектууд нь геометрийн биетүүдийн тухай ойлголтыг өгдөг. Бодит биетүүдээс ялгаатай нь геометрийн биетүүд нь төсөөллийн биетүүд юм. Тодорхой геометрийн биеҮүнийг материалаар (шавар, мод, металл, ...) эзэлдэг, гадаргуугаар хязгаарлагддаг орон зайн нэг хэсэг гэж төсөөлөх ёстой.

Бүх геометрийн биетүүд хуваагдана олон талтТэгээд дугуй бие.

Олон талт

Олон өнцөгтгадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх геометрийн бие юм.

Ирмэгүүдолон өнцөгт, түүний гадаргууг бүрдүүлдэг олон өнцөгтийг нэрлэдэг.

Хавиргаолон талт, олон өнцөгтийн нүүрний талууд гэж нэрлэдэг.

Оргилуудолон өнцөгтийг олон өнцөгтийн нүүрний орой гэж нэрлэдэг.

Полиэдрүүд хуваагдана гүдгэрТэгээд гүдгэр бус.

Полиэдрон гэж нэрлэдэг гүдгэр, хэрэв энэ нь бүхэлдээ аль нэг нүүрнийх нь нэг талд хэвтэж байвал.

Дасгал хийх. Тодорхойл ирмэгүүд, хавиргаТэгээд оргилуудкубыг зурагт үзүүлэв.

Гүдгэр олон өнцөгтүүд хуваагдана призмүүдТэгээд пирамидууд.

Призм

Призмнь тэнцүү ба зэрэгцээ хоёр нүүртэй олон өнцөгт юм
n-гонс, бусад нь nнүүр царай нь параллелограмм юм.

Хоёр n-Гоныг дууддаг призмийн суурь, параллелограммууд - хажуугийн нүүрнүүд. Хажуугийн нүүр ба суурийн хажуу талууд гэж нэрлэгддэг призм хавирга, ирмэгүүдийн төгсгөлүүд гэж нэрлэгддэг призмийн оройнууд. Хажуугийн ирмэг нь сууринд хамаарахгүй ирмэгүүд юм.

A 1 A 2 ...A n ба B 1 B 2 ...B n олон өнцөгтүүд нь призмийн суурь юм.

Параллелограммууд A 1 A 2 B 2 B 1, ... - хажуугийн нүүр.

Призмийн шинж чанарууд:

· Призмийн суурь нь тэнцүү ба параллель байна.

· Призмийн хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү ба параллель байна.

Призм диагональнэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр оройг холбосон сегмент гэж нэрлэдэг.

Призмийн өндөрдээд суурийн цэгээс доод суурийн хавтгайд унасан перпендикуляр гэж нэрлэдэг.

Призмийг 3 өнцөгт, 4 өнцөгт, ..., гэж нэрлэдэг. n-хэрэв суурь нь бол нүүрс
3-гон, 4-гон, ..., n-гонс.

Шууд призмХажуугийн хавирга нь сууринд перпендикуляр байрладаг призм гэж нэрлэгддэг. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуу нь тэгш өнцөгт юм.

Налуу призмшулуун биш призм гэж нэрлэдэг. Налуу призмийн хажуугийн гадаргуу нь параллелограмм юм.

Зөв призмээрдуудсан Чигээрээсуурин дээрээ ердийн олон өнцөгтүүдтэй призм.

Талбай бүрэн гадаргуупризмүүдбүх нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Талбай хажуугийн гадаргуупризмүүдтүүний хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр гэж нэрлэдэг.

Сбүрэн = Стал + 2 Сүндсэн

Олон өнцөгт

• Олон өнцөгт- энэ бол гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх бие юм.

Полиэдрон гэж нэрлэдэг гүдгэр

• Полиэдрон гэж нэрлэдэг гүдгэр ,хэрэв түүний гадаргуу дээрх хавтгай олон өнцөгт бүрийн нэг талд байрласан бол.

• Евклид (МЭӨ 330-277 он гэж таамаглаж байна) - Эртний Грекийн Александрын сургуулийн математикч, бидэнд ирсэн математикийн анхны "Элементүүд" (15 номонд) зохиолын зохиогч.

хажуугийн нүүрнүүд.

• Призм нь өөр өөр хавтгайд байрлах хоёр хавтгай олон өнцөгт, параллель орчуулгаар нэгтгэгдсэн олон өнцөгт, эдгээр олон өнцөгтүүдийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрддэг олон өнцөгт юм.Зэрэгцээ хавтгайд байрлах Ф ба Ф1 олон өнцөгтийг призмийн суурь, үлдсэн хэсгийг нь гэнэ. хажуугийн нүүрнүүд.

• Призмийн гадаргуу нь хоёр тэнцүү олон өнцөгт (суурь) ба параллелограммаас (хажуугийн нүүр) бүрдэнэ. Гурвалжин, дөрвөн өнцөгт, таван өнцөгт гэх мэт призмүүд байдаг. суурийн оройн тооноос хамаарна.

• Призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр байвал ийм призмийг гэнэ. Чигээрээ ; Хэрэв призмийн хажуугийн ирмэг нь суурийнх нь хавтгайд перпендикуляр биш бол ийм призмийг гэнэ. налуу . Шулуун призм нь тэгш өнцөгт хажуугийн нүүртэй.

Призмийн суурь нь тэнцүү байна.

• Призмийн суурь нь тэнцүү байна.

• Призмийн суурь нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг.

• Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь параллель ба тэнцүү байна.

• Призмийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай юм.

• Призм нь зөвхөн геометрийн биет төдийгүй уран сайхны шилдэг бүтээл байж болох юм.Энэ призм нь Пикассо, Брак, Грисс гэх мэт зургуудын үндэс болсон юм.

• Цасан ширхгүүд нь зургаан өнцөгт призм хэлбэртэй болох боловч энэ нь агаарын температураас хамаарна.

• МЭӨ 3-р зуунд. д. Усан онгоцууд Александрия булан руу явах замдаа хадны дундуур аюулгүй өнгөрөхийн тулд гэрэлт цамхаг барьсан. Шөнөдөө галын тусгал, өдрийн цагаар утааны багана тэдэнд тусалсан. Энэ бол дэлхийн анхны гэрэлт цамхаг байсан бөгөөд 1500 жилийн турш зогсож байв.

• Гэрэлт цамхаг нь Газар дундын тэнгис дэх, Александрийн эргээс холгүй орших Фарос хэмээх жижиг арал дээр баригдсан. Барилгад 20 жил зарцуулагдсан бөгөөд МЭӨ 280 онд баригдаж дууссан.

• 14-р зуунд гэрэлт цамхаг газар хөдлөлтөөр сүйрчээ. Түүний хог хаягдлыг цэргийн цайз барихад ашигласан. Цайзыг хэд хэдэн удаа сэргээн босгосон бөгөөд одоо ч дэлхийн анхны гэрэлт цамхагийн суурин дээр байсаар байна.

Маусолус бол Кариагийн захирагч байв. Бүс нутгийн нийслэл нь Халикарнасс байв. Мавсолус өөрийн эгч Артемисиатай гэрлэжээ. Тэрээр өөртөө болон хатандаа бунхан барихаар шийджээ. Мавсол өөрийн баялаг, эрх мэдлийг дэлхий дахинд сануулах сүрлэг хөшөөг мөрөөддөг байв. Тэрээр булшны ажил дуусаагүй байхад нас баржээ. Артемисиа барилгын ажлыг үргэлжлүүлэн удирдав. Булш нь МЭӨ 350 онд баригдсан. д. Үүнийг хааны нэрээр бунхан гэж нэрлэжээ.

Хааны хосын чандрыг барилгын ёроолд байрлах булшинд алтан саванд хийж хадгалдаг байжээ. Чулуун арслангууд энэ өрөөг хамгаалж байв. Энэхүү бүтэц нь багана, хөшөөнүүдээр хүрээлэгдсэн Грекийн сүмтэй төстэй байв. Барилгын дээд талд шаталсан пирамид байв. Газрын гадаргаас 43 м-ийн өндөрт морины татсан сүйх тэрэгний барималаар титэм зүүжээ. Дээр нь хаан, хатны хөшөө байсан байх.

• Арван найман зууны дараа газар хөдлөлт болсны улмаас бунхан бүрэн сүйрчээ. Археологичид малтлага хийхээс өмнө дахин гурван зуун жил өнгөрчээ. 1857 онд бүх олдворыг Лондон дахь Британийн музейд аваачжээ. Одоо бунхан байсан газарт хэдхэн чулуу л үлджээ.

талстууд.

Зөвхөн хүний ​​гараар бүтээгдсэн геометрийн хэлбэрүүд байдаггүй.Байгаль өөрөө маш олон байдаг.Салхи,ус,нарны гэрэл зэрэг байгалийн хүчин зүйлсийн дэлхийн гадаргад үзүүлэх нөлөө нь маш аяндаа, замбараагүй байдаг.Гэвч элсэн манхан, Далайн эрэг дээрх хайрга, Унтарсан галт уулын тогоо нь дүрмээр бол геометрийн тогтмол хэлбэртэй байдаг.Заримдаа хэн нэгэн үүнийг сайтар хайчилж, нунтаглаж, өнгөлсөн мэт ийм хэлбэртэй чулуунууд байдаг. нь - талстууд.

параллелепипед.

• Хэрэв призмийн суурь нь параллелограмм бол түүнийг дуудна параллелепипед.

• Тэгш өнцөгт параллелепипедийн загварууд нь:

• сэрүүн өрөө

• Кальцитын талстууд нь хичнээн жижиг хэсгүүдэд хуваагдсан ч үргэлж параллелепипед хэлбэртэй хэсгүүдэд хуваагддаг.

• Хотын барилгууд нь ихэвчлэн олон талт хэлбэртэй байдаг.Дүрмээр бол эдгээр нь энгийн параллелепипедүүд юм.Мөн зөвхөн гэнэтийн архитектурын шийдэл нь хотуудыг чимэглэдэг.

• 1. Ирмэгүүд нь тэнцүү бол призм хэвийн үү?

• а) тийм; в) үгүй. Хариултаа зөвтгөөрэй.

• 2. Энгийн гурвалжин призмийн өндөр 6см.Суурийн тал нь 4см.Энэ призмийн нийт гадаргууг ол.

• 3. Налуу гурвалжин призмийн хоёр хажуугийн гадаргуугийн талбай 40 ба 30 см2. Эдгээр нүүрний хоорондох өнцөг нь шулуун байна. Призмийн хажуугийн гадаргууг ол.

• 4. ABCDA1B1C1D1 параллелепипед дээр A1BC ба CB1D1 хэсгүүдийг зурсан. Эдгээр хавтгай диагональ AC1-ийг ямар харьцаагаар хуваадаг вэ?

• 1) 4 нүүр, 4 орой, 6 ирмэг бүхий тетраэдр;

• 2) шоо - 6 нүүр, 8 орой, 12 ирмэг;

• 3) октаэдр - 8 нүүр, 6 орой, 12 ирмэг;

• 4) dodecahedron - 12 нүүр, 20 орой, 30 ирмэг;

• 5) икосаэдрон - 20 нүүр, 12 орой, 30 ирмэг.

Милетийн Фалес, үүсгэн байгуулагч Иони Самосын Пифагор

Эртний Грекийн эрдэмтэд, гүн ухаантнууд Эртний Дорнодын соёл, шинжлэх ухааны ололт амжилтыг хүлээн авч, дахин боловсруулжээ. Фалес, Пифагор, Демокрит, Евдокс болон бусад хүмүүс хөгжим, математик, одон орон судлалд суралцахаар Египет, Вавилон руу явжээ. Грекийн геометрийн шинжлэх ухааны эхлэл нь энэ нэртэй холбоотой байдаг нь санамсаргүй хэрэг биш юм Милетийн Фалес, үүсгэн байгуулагч Ионисургуулиуд. Зүүн орнуудтай хил залгаа нутаг дэвсгэрт нутаглаж байсан Ионичууд дорно дахины мэдлэгийг анхлан авч, түүнийг хөгжүүлж эхэлжээ. Ионы сургуулийн эрдэмтэд эртний дорно дахины ард түмнүүдээс, ялангуяа Вавилончуудаас зээлж авсан математик мэдээллийг логик боловсруулалтад оруулж, системчилсэн анхны хүмүүс байв. Прокл болон бусад түүхчид геометрийн олон нээлтийг энэ сургуулийн тэргүүн Талестай холбодог. Хандивын тухай Самосын ПифагорПрокл геометрийн талаар Евклидийн элементүүдэд бичсэн тайлбартаа: "Тэр энэ шинжлэх ухааныг (өөрөөр хэлбэл геометрийг) анхны сууриас нь эхлэн судалж, цэвэр логик сэтгэлгээг ашиглан теоремуудыг олж авахыг оролдсон" гэж бичжээ. Проклус Пифагорын шинж чанаруудыг гипотенузын квадрат дээрх алдартай теоремоос гадна таван ердийн олон талт бүтэцтэй болгосон:

Платоны хатуу биетүүд

Платоны хатуу биетүүд нь гүдгэр олон талт, бүх нүүр нь ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Энгийн олон талт олон өнцөгтийн бүх өнцөг нь тэнцүү байна. Оройн дээрх хавтгай өнцгүүдийн нийлбэрийг тооцоолсноор 5-аас илүүгүй гүдгэр ердийн олон талт хэлбэртэй байна. Доор дурдсан аргыг ашигласнаар яг таван ердийн олон талт байдаг гэдгийг баталж чадна (үүнийг Евклид нотолсон). Эдгээр нь ердийн тетраэдр, шоо, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр юм.

Октаэдр (Зураг 3).

• Октаэдр - октаэдр; найман гурвалжингаар хүрээлэгдсэн бие; энгийн октаэдр нь найман тэгш талт гурвалжингаар хязгаарлагддаг; ердийн таван олон талтуудын нэг. (Зураг 3).

• Додекаэдр -додекаэдр, арван хоёр олон өнцөгтөөр хязгаарлагдсан бие; ердийн таван өнцөгт; ердийн таван олон талтуудын нэг . (Зураг 4).

• Икосаэдр -хорин хедрон, хорин олон өнцөгтөөр хязгаарлагдсан бие; ердийн икосаэдрон нь хорин тэгш талт гурвалжингаар хязгаарлагддаг; ердийн таван олон талтуудын нэг. (Зураг 5).

Додекаэдруудын нүүр нь ердийн таван өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Ердийн таван өнцөгтийн диагональууд нь одны таван өнцөгтийг бүрдүүлдэг - энэ нь Пифагорын оюутнуудад зориулсан бэлгэ тэмдэг, таних тэмдэг болсон дүрс юм. Пифагорын лиг нь нэгэн зэрэг философийн сургууль, улс төрийн нам, шашны ахан дүүсийн холбоо байсан нь мэдэгдэж байна. Домогт өгүүлснээр, нэг Пифагор харь нутагт өвдөж, нас барахаасаа өмнө түүнийг асарч байсан байшингийн эзэнд мөнгө төлж чадахгүй байв. Сүүлийнх нь байшингийнхаа хананд од хэлбэртэй таван өнцөгт зуржээ. Хэдэн жилийн дараа энэ тэмдгийг харсан өөр нэг тэнүүчлэгч Пифагор эзэнээс юу болсныг асууж, түүнийг харамгүй шагнажээ.

• Пифагорын амьдрал, шинжлэх ухааны үйл ажиллагааны талаархи найдвартай мэдээлэл хадгалагдаагүй байна. Тэрээр дүрсүүдийн ижил төстэй байдлын тухай сургаалыг бий болгосон гавьяатай. Тэрээр геометрийг практик болон хэрэглээний шинжлэх ухаан биш, харин хийсвэр логик шинжлэх ухаан гэж үзсэн анхны эрдэмтдийн нэг байсан байх.

Пифагорын сургууль нь харьцуулшгүй хэмжигдэхүүн, өөрөөр хэлбэл хамаарлыг бүхэл тоо эсвэл бутархай тоогоор илэрхийлэх боломжгүй хэмжигдэхүүн байгааг олж илрүүлсэн. Жишээ нь квадратын диагоналын уртыг хажуугийн урттай харьцуулсан харьцаа нь C2-тэй тэнцүү юм. Энэ тоо нь оновчтой биш (жишээ нь, бүхэл тоо эсвэл хоёр бүхэл тооны харьцаа) бөгөөд үүнийг иррациональ гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл. үндэслэлгүй (Латин харьцаанаас - хандлага).

Тетраэдр (Зураг 1).

• Тетраэдр -тетраэдр, бүх нүүр нь гурвалжин, өөрөөр хэлбэл. гурвалжин пирамид; ердийн тетраэдр нь дөрвөн тэгш талт гурвалжингаар хязгаарлагддаг; тогтмол таван олон өнцөгтийн нэг. (Зураг 1).

• Шоо буюу ердийн зургаан өнцөгт (Зураг 2).

Тетраэдр -тетраэдр, бүх нүүр нь гурвалжин, өөрөөр хэлбэл. гурвалжин пирамид; ердийн тетраэдр нь дөрвөн тэгш талт гурвалжингаар хязгаарлагддаг; тогтмол таван олон өнцөгтийн нэг. (Зураг 1).

• Тетраэдр -тетраэдр, бүх нүүр нь гурвалжин, өөрөөр хэлбэл. гурвалжин пирамид; ердийн тетраэдр нь дөрвөн тэгш талт гурвалжингаар хязгаарлагддаг; тогтмол таван олон өнцөгтийн нэг. (Зураг 1).

• Шоо буюу ердийн зургаан өнцөгт - зургаан квадратаар хязгаарлагдмал тэгш ирмэгтэй ердийн дөрвөлжин призм. (Зураг 2).

Пирамид

• Пирамид- хавтгай олон өнцөгт - пирамидын суурь, пирамидын суурийн дээд талын хавтгайд оршдоггүй цэгүүд ба пирамидын оройг суурийн цэгүүдтэй холбосон бүх сегментээс бүрдэх олон өнцөгт.

Зураг дээр таван өнцөгт пирамид харагдаж байна SABCDEба түүний хөгжил. Нийтлэг оройтой гурвалжингуудыг нэрлэдэг хажуугийн нүүрнүүдпирамидууд; хажуугийн нүүрний нийтлэг орой - дээдпирамидууд; Энэ орой нь хамаарахгүй олон өнцөгт байна суурьпирамидууд; пирамидын ирмэгүүд орой дээрээ нийлдэг - хажуугийн хавиргапирамидууд. Өндөрпирамид бол дээд талаас нь суурийн хавтгай руу татсан перпендикуляр сегмент бөгөөд төгсгөлүүд нь пирамидын дээд ба суурийн хавтгайд байрладаг. Зураг дээр сегмент байна SO- пирамидын өндөр.

• Тодорхойлолт . Суурь нь жирийн олон өнцөгт бөгөөд орой нь төв рүүгээ туссан пирамидыг тогтмол гэж нэрлэдэг.

• Зураг дээр ердийн зургаан өнцөгт пирамид харагдаж байна.

Үр тарианы амбаар болон куб, призм, цилиндр хэлбэртэй бусад байгууламжийн эзэлхүүнийг египетчүүд болон вавилончууд, хятадууд, индианчууд суурийн талбайг өндрөөр үржүүлж тооцоолсон. Гэсэн хэдий ч эртний дорно дахины зөвхөн тодорхой дүрмүүдийг мэддэг байсан бөгөөд туршилтаар олсон бөгөөд тэдгээр нь тоон хэсгүүдийн эзлэхүүнийг олоход ашигладаг байв. Хожим нь геометр нь шинжлэх ухаан болж үүсэх үед олон талтуудын эзлэхүүнийг тооцоолох ерөнхий арга барил олдсон.

• V - IV зууны Грекийн гайхамшигтай эрдэмтдийн дунд. МЭӨ боть онолыг боловсруулсан хүмүүс бол Абдерийн Демокрит, Книдын Евдокс нар юм.

• Евклид "эзлэхүүн" гэсэн нэр томъёог ашигладаггүй. Түүний хувьд "шоо" гэсэн нэр томъёо нь шоо дөрвөлжингийн эзэлхүүнийг илэрхийлдэг. "Зарчмууд"-ын XI дэвтэрт бусад теоремуудыг толилуулж байна.

• 1. Тэнцүү өндөр, ижил суурьтай параллелепипед нь ижил хэмжээтэй байна.

• 2. Тэнцүү өндөртэй хоёр параллелепипедийн эзэлхүүний харьцаа нь тэдгээрийн суурийн талбайн харьцаатай тэнцүү байна..

• 3. Тэнцүү талбайтай параллелепипедүүдэд суурийн талбайнууд нь өндөртэй урвуу пропорциональ байна.

• Евклидийн теоремууд нь зөвхөн эзэлхүүний харьцуулалттай холбоотой байдаг, учир нь Евклид биеийн эзэлхүүнийг шууд тооцоолох нь геометрийн практик гарын авлагын асуудал гэж үзсэн байх. Александрын Хероны хэрэглээний бүтээлүүдэд шоо, призм, параллелепипед болон бусад орон зайн дүрсүүдийн эзэлхүүнийг тооцоолох дүрэм байдаг.

• Суурь нь параллелограмм болох призмийг параллелепипед гэнэ.

• Тодорхойлолтын дагуу параллелепипед бол дөрвөлжин призм бөгөөд бүх нүүр нь параллелограмм юм. Призм шиг параллелепипед байж болно ЧигээрээТэгээд налуу. Зураг 1-д налуу параллелепипед, 2-т шулуун параллелепипедийг үзүүлэв.

• Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт параллелепипед. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт юм. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн загвар нь анги, тоосго, шүдэнзний хайрцаг юм.

• Нийтлэг төгсгөлтэй тэгш өнцөгт параллелепипедийн гурван ирмэгийн уртыг нэрлэдэг хэмжилт. Жишээлбэл, 15, 35, 50 мм хэмжээтэй шүдэнзний хайрцаг байдаг. Шоо нь ижил хэмжээтэй тэгш өнцөгт параллелепипед юм. Кубын бүх зургаан нүүр нь тэнцүү квадратууд юм.

• Параллелепипедийн зарим шинж чанарыг авч үзье.

• Теорем. Параллелепипед нь диагональынхаа дунд тэгш хэмтэй байна.

• Энэ нь теоремоос шууд гардаг параллелепипедийн чухал шинж чанарууд:

• 1. Параллелепипедийн гадаргууд хамаарах төгсгөлүүдтэй, диагональ дундуур нь дамждаг аливаа сегментийг хагасаар нь хуваана; ялангуяа параллелепипедийн бүх диагональууд нэг цэгт огтлолцож, түүгээр хуваагдана. 2. Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна

"Олон өнцөгтийн төрлүүд" - Ердийн од хэлбэртэй олон талт. Додекаэдр. Жижиг одтой додекаэдр. Олон талт. Зургаан өнцөгт. Платоны хатуу биетүүд. Призматоид. Пирамид. Икосаэдр. Октаэдр. Хязгаарлагдмал тооны хавтгайгаар хязгаарлагдсан бие. Октаэдр од. Хоёр нүүр. Харилцан харилцах хууль. Математикч. Тетраэдр.

"Геометр биет олон талт" - Олон талт. Призмүүд. Хэмжих боломжгүй хэмжигдэхүүнүүдийн оршин тогтнох. Пуанкаре. Ирмэг. Эзлэхүүний хэмжилт. Параллелепипедийн нүүр царай. Тэгш өнцөгт параллелепипед. Бид гудамжинд пирамид байхыг ихэвчлэн хардаг. Олон өнцөгт. Сонирхолтой баримтууд. Александрын гэрэлт цамхаг. Геометрийн хэлбэрүүд. Онгоц хоорондын зай. Мемфис.

"Олон талт хясаа" - Кубын ирмэг. Октаэдрийн ирмэг. Шоо ба додекаэдр. Тетраэдр нэгж. Додекаэдр ба икосаэдр. Додекаэдр ба тетраэдр. Октаэдр ба икосаэдр. Олон өнцөгт. Ердийн олон өнцөгт. Октаэдр ба додекаэдр. Икосаэдр ба октаэдр. Икосаэдрон нэгж. Тетраэдр ба икосаэдр. Додекаэдр нэгж. Октаэдр ба тетраэдр. Шоо ба тетраэдр.

"Polyhedra" stereometry" - Архитектур дахь олон талт. Олон өнцөгтийн хэсэг. Олон өнцөгтийг нэрлэнэ үү. Гизагийн агуу пирамид. Платоны хатуу биетүүд. Логик хэлхээг засах. Олон өнцөгт. Түүхийн лавлагаа. Полиэдрийн хамгийн сайхан цаг. Асуудал шийдэх. Хичээлийн зорилго. "Үзэгчидтэй тоглох" Геометрийн дүрсүүд болон тэдгээрийн нэрс таарч байна уу?

"Олон талт оддын хэлбэрүүд" - Их одтой хоёр талт. Зурагт үзүүлсэн олон өнцөгт. Олон талт од. Хажуугийн хавирга. Оддын кубоктаэдр. Одтой таслагдсан икосаэдрон. Одтой таслагдсан икосаэдрийг тайрснаар олж авсан олон өнцөгт. Их одтой хоёр талт одны оройнууд. Одтой икосаэдронууд. Агуу дудекаэдр.

"Олон өнцөгтийн хавтгайгаар огтлолцсон хэсэг" - Полиэдрийн хэсэг. Олон өнцөгт. Зүссэн хэсгүүд нь таван өнцөгт хэлбэртэй байв. Таслах онгоцны ул мөр. Хэсэг. Шулуунуудын огтлолцох цэгийг олъё. Онгоц. Кубын хөндлөн огтлолыг байгуул. Призмийн хөндлөн огтлолыг байгуул. Бид цэгийг олдог. Призм. Хэсэг барих арга. Үүссэн зургаан өнцөгт. Кубын хэсэг. Аксиоматик арга.

Нийт 29 илтгэл байна

Олон өнцөгтийг судлахдаа бид хавтгай олон өнцөгтийн тухай ярьдаг бөгөөд энэ нь олон өнцөгт өөрөө болон түүний дотоод муж гэсэн утгатай.

Стереометрийн хувьд ижил зүйл тохиолддог. Хавтгай олон өнцөгт гэсэн ойлголттой зүйрлэснээр бие ба түүний гадаргуугийн тухай ойлголтыг танилцуулав.

Хэрэв энэ цэг дээр бүхэлдээ энэ дүрст хамаарах төвтэй бөмбөг байвал геометрийн дүрсийн цэгийг дотоод гэж нэрлэдэг. Дүрсийг бүхэлд нь бүс гэж нэрлэдэг

түүний цэгүүд нь дотоод бөгөөд хэрэв аль нэг хоёр цэг нь тухайн зурагт бүхэлдээ хамаарах тасархай шугамаар холбогдож болно.

Хэрэв энэ цэгт төвтэй аливаа бөмбөг нь тухайн дүрст хамаарах цэг болон түүнд хамаарахгүй цэгүүдийг агуулж байвал түүнийг тухайн дүрсийн хилийн цэг гэнэ. Тухайн газрын хилийн цэгүүд нь тухайн талбайн хилийг бүрдүүлдэг.

Бие бол хилийнхээ хамт хязгаарлагдмал муж юм. Биеийн хилийг биеийн гадаргуу гэж нэрлэдэг. Биеийг хязгаарлагдмал тооны гурвалжин пирамидуудад хувааж чадвал түүнийг энгийн гэж нэрлэдэг.

Хамгийн энгийн тохиолдолд эргэлтийн бие гэдэг нь тодорхой шулуун шугамд (эргэлтийн тэнхлэг) перпендикуляр хавтгай нь энэ шулуун дээрх төвүүдтэй тойрог хэлбэрээр огтлолцдог бие юм. Цилиндр, конус, бөмбөг нь хувьсгалын биетүүдийн жишээ юм.

48. Олон талт өнцөг. Олон талт.

Хоёр өнцөгт өнцөг нь нийтлэг зааг шугамтай хоёр хагас хавтгайгаас үүссэн дүрс юм. Хагас хавтгайг нүүр гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийг хязгаарлаж буй шулуун шугамыг хоёр талт өнцгийн ирмэг гэж нэрлэдэг.

Зураг 142-д а ирмэг ба нүүртэй хоёр талт өнцгийг үзүүлэв

Хоёр талт өнцгийн ирмэгтэй перпендикуляр хавтгай нь түүний нүүрийг хоёр хагас шугамын дагуу огтолж байна. Эдгээр хагас шугамаас үүссэн өнцгийг хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг гэж нэрлэдэг. Хоёр өнцөгт өнцгийн хэмжүүрийг түүний харгалзах шугаман өнцгийн хэмжүүр болгон авна. Хэрэв хоёр өнцөгт өнцгийн а ирмэгийн А цэгээр y хавтгайг энэ ирмэгт перпендикуляр татвал өгөгдсөн хоёр өнцөгт өнцгийн хагас шугаман шугаман өнцгийн дагуу a ба 0 хавтгайг огтолно. Энэ шугаман өнцгийн хэмжүүр нь хоёр талт өнцгийн хэмжүүр юм. Хоёр талт өнцгийн хэмжигдэхүүн нь шугаман өнцгийн сонголтоос хамаардаггүй.

Гурван өнцөгт өнцөг гэж гурван хавтгай өнцгөөс тогтсон дүрсийг хэлнэ.Эдгээр өнцгийг гурвалсан өнцгийн нүүр гэж нэрлэдэг ба тэдгээрийн талуудыг ирмэг гэж нэрлэдэг. Хавтгай өнцгүүдийн нийтлэг оройг гурвалсан өнцгийн орой гэж нэрлэдэг. Нүүр болон тэдгээрийн өргөтгөлөөс үүссэн хоёр талт өнцгийг гурвалсан өнцгийн хоёр өнцөгт өнцөг гэж нэрлэдэг.

Олон өнцөгт өнцгийн тухай ойлголтыг хавтгай өнцгөөс бүрдэх дүрс гэж ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.Олон өнцөгт өнцгийн хувьд нүүр, ирмэг, хоёр өнцөгт өнцгийн ойлголтыг гурвалсан өнцгийн нэгэн адил тодорхойлно.

Гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтүүдээс тогтсон биеийг полиэдрон гэнэ (Зураг 145).

Олон өнцөгт бүрийн хавтгайн нэг талд гадаргуу дээрээ байрладаг бол олон талт гүдгэр гэж нэрлэдэг (Зураг 145, а, б). Ийм хавтгайн нийтлэг хэсэг ба гүдгэр олон өнцөгтийн гадаргууг нүүр гэж нэрлэдэг. Гүдгэр олон өнцөгтийн нүүр нь гүдгэр олон өнцөгт юм. Нүүрний талуудыг олон өнцөгтийн ирмэг гэж нэрлэдэг ба оройг нь олон өнцөгтийн орой гэж нэрлэдэг.

49. Призм. Параллелепипед. Шоо

Призм нь хоёр хавтгай олон өнцөгт, параллель хөрвүүлэлтээр нийлсэн олон өнцөгт ба эдгээр олон өнцөгтүүдийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментээс бүрдсэн олон өнцөгт юм. Олон өнцөгтүүдийг призмийн суурь гэж нэрлэдэг ба харгалзах оройнуудыг холбосон хэрчмүүдийг призмийн хажуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг (Зураг 146).

Зэрэгцээ орчуулга нь хөдөлгөөн учраас призмийн суурь нь тэнцүү байна. Зэрэгцээ орчуулгын үед онгоц параллель хавтгайд (эсвэл өөрөө) ордог тул

Призмийн суурь нь зэрэгцээ хавтгайд байрладаг. Зэрэгцээ хөрвүүлгийн үед цэгүүд параллель (эсвэл давхцах) шугамын дагуу ижил зайд шилждэг тул призмийн хажуугийн ирмэгүүд параллель ба тэнцүү байна.

Зураг 147, а-д дөрвөлжин призмийг үзүүлэв. ABCD хавтгай олон өнцөгтүүд нь харгалзах параллель орчуулгаар нийлдэг ба призмийн суурь, АА хэрчмүүд нь призмийн хажуу ирмэг юм. Призмийн суурь нь тэнцүү (зэрэгцээ орчуулга нь хөдөлгөөн бөгөөд дүрсийг тэнцүү дүрс болгон хувиргадаг, догол мөр 79). Хажуугийн хавирга нь зэрэгцээ, тэнцүү байна.

Призмийн гадаргуу нь суурь ба хажуугийн гадаргуугаас бүрдэнэ. Хажуугийн гадаргуу нь параллелограммуудаас бүрдэнэ. Эдгээр параллелограмм бүрийн хоёр тал нь суурийн харгалзах талууд, нөгөө хоёр нь призмийн хажуугийн ирмэгүүд юм.

147-р зурагт призмийн хажуугийн гадаргуу нь параллелограммуудаас бүрдэнэ.Бүтэн гадаргуу нь суурийн болон дээрх параллелограммуудаас бүрдэнэ.

Призмийн өндөр нь түүний суурийн хавтгай хоорондын зай юм. Нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр оройг холбосон хэрчмийг призмийн диагональ гэнэ. Призмийн диагональ хэсэг нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн хэсэг юм.

Зураг 147а нь өндөр ба диагональуудын аль нэгтэй призмийг харуулж байна. Хэсэг нь энэ призмийн диагональ хэсгүүдийн нэг юм.

Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь сууриудтай перпендикуляр байвал түүнийг шулуун гэж нэрлэдэг. Үгүй бол призмийг дуудна

налуу Хэрэв суурь нь ердийн олон өнцөгт байвал зөв призмийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Зураг 147, а нь налуу призмийг, Зураг 147, b - шулуун, энд ирмэг нь призмийн суурийн перпендикуляр байна. Зураг 148-д ердийн призмийг харуулсан бөгөөд тэдгээрийн суурь нь ердийн гурвалжин, дөрвөлжин, ердийн зургаан өнцөгт юм.

Призмийн суурь нь параллелограмм бол түүнийг параллелепипед гэнэ. Параллелепипедийн бүх нүүр нь параллелограмм юм. Зураг 147, а нь налуу параллелепипедийг, Зураг 147, b - шулуун параллелепипедийг харуулж байна.

Нийтлэг оройгүй параллелепипедийн нүүрийг эсрэг гэж нэрлэдэг. 147-р зурагт нүүр царай нь эсрэгээрээ байна.

Параллелепипедийн зарим шинж чанарыг батлах боломжтой.

Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.

Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцох ба огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана.

Параллелепипедийн диагональуудын огтлолцох цэг нь түүний тэгш хэмийн төв юм.

Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипедийг кубоид гэнэ. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт юм.

Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипедийг куб гэнэ.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн параллель бус ирмэгийн уртыг шугаман хэмжээс буюу хэмжээс гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт параллелепипед гурван шугаман хэмжээстэй.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд дараах теорем үнэн байна.

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн хувьд дурын диагональ квадрат нь түүний гурван шугаман хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Жишээлбэл, а ирмэгтэй шоо дөрвөлжин диагональ нь тэнцүү байна:

50. Пирамид.

Пирамид гэдэг нь хавтгай олон өнцөгт - пирамидын суурь, суурийн хавтгайд оршдоггүй цэг - пирамидын орой ба оройг суурийн цэгүүдтэй холбосон бүх сегментээс бүрдсэн олон өнцөгт юм (Зураг 1). 150). Пирамидын оройг суурийн оройтой холбосон хэсгүүдийг хажуугийн ирмэг гэж нэрлэдэг. Зураг 150а-д SABCD пирамидыг үзүүлэв. ABCD дөрвөн өнцөгт нь пирамидын суурь, S цэг нь пирамидын орой, SA, SB, SC, SD сегментүүд нь пирамидын ирмэгүүд юм.

Пирамидын өндөр нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр юм. Зураг 150-д SO нь пирамидын өндөр юм.

Пирамидын суурь нь бол өнцөгт гэж нэрлэгддэг

Дөрвөлжин. Гурвалжин пирамидыг тетраэдр гэж бас нэрлэдэг.

Зураг 151, а нь гурвалжин пирамид буюу тетраэдр, Зураг 151, b - дөрвөлжин, Зураг 151, в - зургаан өнцөгтийг харуулж байна.

Пирамидын суурьтай параллель, түүнтэй огтлолцсон хавтгай ижил төстэй пирамидыг таслав.

Хэрэв суурь нь жирийн олон өнцөгт бөгөөд өндрийн суурь нь энэ олон өнцөгтийн төвтэй давхцаж байвал пирамидыг тогтмол гэж нэрлэдэг. Зураг 151-д ердийн пирамидуудыг харуулав. Ердийн пирамид нь ижил хажуугийн хавиргатай; тиймээс хажуугийн нүүрнүүд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Энгийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройгоос нь татсан өндрийг апотем гэж нэрлэдэг.

Т.3.4-т зааснаар пирамидын суурийн 0 хавтгайтай параллель, пирамидыг огтолж буй a хавтгай нь түүнээс ижил төстэй пирамидыг таслав. Пирамидын нөгөө хэсэг нь таслагдсан пирамид гэж нэрлэгддэг олон өнцөгт юм. Зэрэгцээ хавтгайд байрлах таслагдсан пирамидын нүүрийг таслагдсан пирамидын суурь гэж нэрлэдэг, үлдсэн нүүрийг хажуугийн нүүр гэж нэрлэдэг. Таслагдсан пирамидын суурь нь ижил төстэй (түүнээс гадна гомотетик) олон өнцөгт, хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байдаг. 152-р зурагт тайрсан пирамидыг үзүүлэв

51. Тогтмол олон талт.

Гүдгэр олон өнцөгтийн нүүр нь ижил тооны талтай, ижил тооны ирмэгүүд нь олон өнцөгтийн орой бүрт нийлдэг ердийн олон өнцөгт бол түүнийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Тогтмол гүдгэр олон өнцөгтийн таван төрөл байдаг (Зураг 154): ердийн тетраэдр, шоо, октаэдр, додекаэдр, икозаэдр. Ердийн тетраэдр ба кубын талаар өмнө нь хэлэлцсэн (49, 50-р зүйл). Ердийн тетраэдр ба шоо дөрвөлжин орой бүрт гурван ирмэг нийлдэг.

Октаэдрийн нүүр нь ердийн гурвалжин юм. Дөрвөн ирмэг нь түүний орой бүр дээр нийлдэг.

Додекаэдруудын нүүр нь ердийн таван өнцөгт хэлбэртэй байдаг. Гурван ирмэг нь орой бүр дээр нийлдэг.

Икосаэдруудын нүүр нь тогтмол гурвалжин боловч тетраэдр ба октаэдрээс ялгаатай нь орой бүр дээр таван ирмэг нийлдэг.

Оршил

Олон өнцөгтүүдээс тогтсон, зарим геометрийн биеийг хязгаарлаж буй гадаргууг олон өнцөгт гадаргуу эсвэл олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны олон өнцөгтөөс бүрдэх хязгаарлагдмал биеийг полиэдрон гэнэ. Олон өнцөгтийг холбосон олон өнцөгтийг нүүр гэж нэрлэдэг ба нүүрний огтлолцлын шугамыг ирмэг гэж нэрлэдэг.

Полиэдра нь янз бүрийн, маш нарийн төвөгтэй бүтэцтэй байж болно. Тоосго, бетонон блок ашиглан барьж буй байшин зэрэг янз бүрийн бүтэц нь олон талт хэлбэрийн жишээ юм. Бусад жишээг ширээ гэх мэт тавилга дундаас олж болно. Химийн хувьд нүүрсустөрөгчийн молекулуудын хэлбэр нь тетраэдр, ердийн хорин хедрон, шоо юм. Физикийн хувьд болорууд нь олон талстуудын жишээ болдог.

Эрт дээр үеэс гоо сайхны тухай санаа нь тэгш хэмтэй холбоотой байдаг. Эдгээр дүрсүүдийн гоо үзэсгэлэн, төгс төгөлдөр байдал, зохицлыг гайхшруулсан гайхалтай сэтгэгчдийн анхаарлыг татсан тэгш хэмийн гайхалтай тэмдэг болох олон талт дүрсийг хүмүүсийн сонирхлыг энэ нь тайлбарлаж байгаа байх.

Олон талтуудын тухай анхны дурсгалыг МЭӨ гурван мянган жилийн өмнө Египет, Вавилонд мэддэг. Египетийн алдартай пирамидууд болон тэдгээрийн хамгийн алдартай нь болох Хеопсийн пирамидуудыг эргэн санахад хангалттай. Энэ бол жирийн пирамид бөгөөд ёроолд нь 233 м талтай, өндөр нь 146.5 м хүрдэг дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг.Хеопсийн пирамид бол геометрийн чимээгүй зохиол гэж тэд хэлдэг нь санамсаргүй хэрэг биш юм.

Тогтмол олон талтуудын түүх эрт дээр үеэс эхэлдэг. МЭӨ 7-р зуунаас эхлэн эртний Грекд гүн ухааны сургуулиуд үүсч, практикаас гүн ухааны геометр рүү аажмаар шилжсэн. Эдгээр сургуулиудад шинэ геометрийн шинж чанаруудыг олж авах боломжтой болсон шалтгааныг судлах нь чухал ач холбогдолтой болсон.

Анхны бөгөөд хамгийн алдартай сургуулиудын нэг бол үүсгэн байгуулагч Пифагорын нэрээр нэрлэгдсэн Пифагорын сургууль байв. Пифагорчуудын өвөрмөц тэмдэг нь таван өнцөгт байсан бөгөөд математикийн хэлээр энэ нь ердийн гүдгэр биш эсвэл од хэлбэртэй таван өнцөгт юм. Пентаграм нь хүнийг муу ёрын сүнснүүдээс хамгаалах чадвартай байв.

Пифагорчууд бодис нь гал, газар, агаар, ус гэсэн дөрвөн үндсэн элементээс бүрддэг гэж үздэг. Тэд материйн бүтэц, орчлон ертөнцтэй холбоотой ердийн таван олон талт бүтэцтэй холбоотой гэж үздэг. Энэхүү үзэл бодлын дагуу үндсэн элементүүдийн атомууд нь янз бүрийн биеийн хэлбэртэй байх ёстой.

§ Орчлон ертөнц бол хоёр талт хэлбэртэй

§ Дэлхий - шоо

§ Гал - тетраэдр

§ Ус - икосаэдрон

§ Агаар - октаэдр

Хожим нь Пифагорчуудын ердийн олон талтуудын тухай сургаалийг эртний Грекийн өөр нэг эрдэмтэн, идеалист гүн ухаантан Платон түүний бүтээлүүдэд дурдсан байдаг. Түүнээс хойш ердийн олон талтуудыг Платоны хатуу биетүүд гэж нэрлэдэг болсон.

Платоны хатуу биетүүд нь ердийн нэгэн төрлийн гүдгэр олон өнцөгтүүд, өөрөөр хэлбэл бүх нүүр ба өнцөг нь тэнцүү, нүүр нь ердийн олон өнцөгтүүд юм. Ердийн олон өнцөгтийн орой бүрт ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг. Энгийн олон өнцөгтийн ирмэг дээрх бүх хоёр өнцөгт өнцөг ба орой дээрх бүх олон өнцөгт өнцөг тэнцүү байна. Платон хатуу биетүүд нь хавтгай ердийн олон өнцөгтүүдийн гурван хэмжээст аналог юм.

Олон өнцөгтийн онол нь математикийн орчин үеийн салбар юм. Энэ нь топологи, графикийн онолтой нягт холбоотой бөгөөд геометрийн онолын судалгаа болон математикийн бусад салбарууд, жишээлбэл, алгебр, тооны онол, хэрэглээний математик - шугаман програмчлал, оновчтой удирдлагын онол зэрэг практик хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой юм. Тиймээс энэ сэдэв нь хамааралтай бөгөөд энэ талаархи мэдлэг нь орчин үеийн нийгэмд чухал ач холбогдолтой юм.

Гол хэсэг

Гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны олон өнцөгтөөс бүрдэх хязгаарлагдмал биеийг полиэдрон гэнэ.

Олон өнцөгтийн анхны тодорхойлолттой тэнцэх олон өнцөгтийн тодорхойлолтыг өгье.

Олон өнцөгт – Энэ бол дараах нөхцөл хангагдсан хязгаарлагдмал тооны тетраэдрүүдийн нэгдэл юм.

1) хоёр тетраэдр бүр нийтлэг цэггүй, эсвэл нийтлэг оройтой, эсвэл зөвхөн нийтлэг ирмэгтэй, эсвэл бүхэл бүтэн нүүртэй;

2) тетраэдр бүрээс нөгөө рүү та тетраэдрүүдийн гинжин хэлхээний дагуу явж болно, үүний дараа дараагийнх бүр нь өмнөхтэй зэргэлдээ байдаг бүхэл бүтэн нүүрний дагуу.

Полиэдрон элементүүд

Олон өнцөгтийн нүүр нь тодорхой олон өнцөгт (олон өнцөгт нь хязгаарлагдмал хаалттай талбай бөгөөд хил хязгаар нь хязгаарлагдмал тооны сегментээс бүрддэг).

Нүүрний талыг олон өнцөгтийн ирмэг гэж нэрлэдэг ба нүүрний оройг олон өнцөгтийн орой гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгтийн элементүүдэд орой, ирмэг, нүүрнүүдээс гадна түүний нүүрний тэгш өнцөг, ирмэг дэх хоёр талт өнцөг орно. Олон өнцөгтийн ирмэг дээрх хоёр талт өнцөг нь энэ ирмэг рүү ойртож буй нүүр царайгаар тодорхойлогддог.

Олон өнцөгтийн ангилал

Гүдгэр олон өнцөгт -нь олон өнцөгт бөгөөд аль ч хоёр цэгийг сегментээр холбож болно. Гүдгэр олон өнцөгт нь олон гайхалтай шинж чанартай байдаг.

Эйлерийн теорем.Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд V-R+G=2,

Хаана IN - түүний оройн тоо; Р - түүний хавирганы тоо, Г - түүний нүүрний тоо.

Кошигийн теорем.Тэнцүү нүүрнүүдээс бүрдэх хоёр хаалттай гүдгэр олон талт нь тэнцүү байна.

Гүдгэр олон өнцөгт нь түүний бүх нүүр нь ижил тэгш олон өнцөгт бөгөөд орой бүр дээр ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг бол түүнийг тогтмол гэж үзнэ.

Ердийн олон өнцөгт

Нэгдүгээрт, гүдгэр, хоёрдугаарт, бүх нүүр нь ижил тэгш олон өнцөгт, гуравдугаарт, орой бүр дээр ижил тооны нүүр нийлдэг, дөрөвдүгээрт, бүх хоёр талт өнцөг нь тэнцүү байвал олон өнцөгтийг тогтмол гэж нэрлэдэг.

Гурвалжин нүүртэй тетраэдр, октаэдр ба икосаэдр, дөрвөлжин нүүртэй шоо (гексаэдр), таван өнцөгт нүүртэй хоёр талт хэлбэртэй таван гүдгэр олон өнцөгт байдаг. Энэ баримтын нотолгоо нь хоёр мянга гаруй жилийн туршид мэдэгдэж байсан; Энэхүү нотолгоо болон тогтмол таван биетийн судалгааг хийснээр Евклидийн элементүүд (эртний Грекийн математикч, математикийн тухай бидэнд ирсэн анхны онолын зохиолын зохиогч) дуусч байна. Ердийн олон өнцөгтүүд яагаад ийм нэртэй болсон бэ? Энэ нь тэдний царайны тоотой холбоотой юм. Тетраэдр нь 4 нүүртэй бөгөөд Грек хэлнээс "тетра" - дөрөв, "хедрон" - нүүр гэж орчуулагддаг. Зургаан өнцөгт (шоо) нь 6 нүүртэй, "гекса" нь зургаан нүүртэй; октаэдр - октаэдр, "окто" - найм; dodecahedron - dodecahedron, "dodeca" - арван хоёр; Икосаэдрон нь 20 нүүртэй, икоси нь хорин нүүртэй.

2.3. Ердийн олон өнцөгтийн төрлүүд:

1) Ердийн тетраэдр(дөрвөн тэгш талт гурвалжнаас тогтоно. Түүний орой тус бүр нь гурван гурвалжны орой байна. Иймээс орой тус бүрийн хавтгай өнцгийн нийлбэр нь 180 0);

2)Шоо- бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй параллелепипед. Шоо нь зургаан квадратаас бүрдэнэ. Кубын орой бүр нь гурван квадратын орой юм. Тиймээс орой тус бүрийн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 270 0 байна.

3) Энгийн октаэдронэсвэл зүгээр л октаэдрон– найман тогтмол гурвалжин нүүртэй, орой бүр дээр дөрвөн нүүртэй олон өнцөгт. Октаэдр нь найман тэгш талт гурвалжингаас бүрдэнэ. Октаэдрийн орой бүр нь дөрвөн гурвалжны орой юм. Тиймээс орой тус бүрийн хавтгай өнцгийн нийлбэр нь 240 0 байна. Суурь нь дөрвөлжин, хажуугийн нүүр нь ердийн гурвалжин хэлбэртэй хоёр пирамидын суурийг нугалах замаар барьж болно. Кубын зэргэлдээх нүүрний төвүүдийг холбосноор октаэдрийн ирмэгийг олж авч болох боловч хэрэв бид ердийн октаэдрийн зэргэлдээх нүүрний төвүүдийг холбовол бид кубын ирмэгийг олж авна. Тэд шоо ба октаэдр хоёр бие биентэйгээ хос гэж хэлдэг.

4)Икосаэдр- хорин тэнцүү талт гурвалжнаас тогтоно. Икосаэдрийн орой бүр нь таван гурвалжны орой юм. Тиймээс орой тус бүрийн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 300 0-тэй тэнцүү байна.

5) Додекаэдр- арван хоёр энгийн таван өнцөгтөөс бүрдсэн олон өнцөгт. Додекаэдрын орой бүр нь гурван энгийн таван өнцөгтийн орой юм. Тиймээс орой тус бүрийн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 324 0 байна.

Додекаэдр ба икосаэдр нь бие биентэйгээ давхар байдаг, учир нь икосаэдрын зэргэлдээх нүүрний төвүүдийг сегментүүдтэй холбосноор бид додекаэдр болон эсрэгээр нь авдаг.

Ердийн тетраэдр нь өөрөө хос юм.

Түүнээс гадна n ≥ 6 хувьд нүүр нь ердийн зургаан өнцөгт, долоон өнцөгт, ерөнхийдөө n өнцөгт хэлбэртэй ердийн олон өнцөгт байдаггүй.

Тогтмол олон өнцөгт нь бүх нүүр нь тогтмол тэнцүү олон өнцөгт, бүх хоёр өнцөгт өнцөг нь тэнцүү олон өнцөгт юм. Гэхдээ бүх олон өнцөгт өнцөг нь тэнцүү, нүүр нь тогтмол, гэхдээ ердийн олон өнцөгтүүдийн эсрэг байдаг олон өнцөгтүүд бас байдаг. Энэ төрлийн олон өнцөгтийг тэгш өнцөгт хагас тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ төрлийн олон өнцөгтийг анх Архимед нээсэн. Тэрээр дараа нь агуу эрдэмтний хүндэтгэлд зориулж Архимедийн бие гэж нэрлэгдсэн 13 олон талт дүрсийг нарийвчлан тодорхойлсон. Эдгээр нь таслагдсан тетраэдр, таслагдсан оксаэдр, таслагдсан икосаэдр, таслагдсан шоо, таслагдсан додекаэдр, кубоктаэдр, икосидодекаэдр, таслагдсан кубоктаэдр, тайрсан кубоктаэдрон, тайрсан икосахедрон, icosahedron icosahedron, icosahedron, icosaedron, icosaedron cahedron, "snub" (snub) шоо, "snub" (kur хамар) dodecahedron.

2.4. Хагас тэгш өнцөгт буюу Архимед хатуу биетүүд нь хоёр шинж чанартай гүдгэр полиэдрүүд юм.

1. Бүх нүүр нь хоёр ба түүнээс дээш төрлийн ердийн олон өнцөгт (хэрэв бүх нүүр нь ижил төрлийн ердийн олон өнцөгт байвал энэ нь ердийн олон өнцөгт юм).

2. Аливаа хос оройн хувьд нэг оройг нөгөөд шилжүүлэх олон өнцөгтийн тэгш хэм (өөрөөр хэлбэл олон өнцөгтийг өөрт нь хувиргах хөдөлгөөн) байдаг. Ялангуяа олон өнцөгт оройн бүх өнцөг нь хоорондоо тохирч байна.

Хагас жигд олон өнцөгтүүдээс гадна ердийн олон талтуудаас - Платоны хатуу биетүүдээс та ердийн одны олон талт гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авах боломжтой. Тэдгээрийн дөрөв нь л байдаг бөгөөд тэдгээрийг Кеплер-Пуинсотын бие гэж нэрлэдэг. Кеплер өргөст эсвэл зараа гэж нэрлэсэн жижиг дудекаэдр, мөн том дудекаэдр нээсэн. Пуинсо эхнийхтэй нь хосолсон өөр хоёр ердийн одтой олон өнцөгтийг нээсэн хоёр: агуу одтой додекаэдр ба агуу икосаэдр.

Хоёр тетраэдр бие биенээ дайран өнгөрч, октаэдр үүсгэдэг. Иоганнес Кеплер энэ дүрд "стелла октангула" - "найман өнцөгт од" гэсэн нэр өгсөн. Энэ нь мөн байгальд байдаг: энэ нь давхар болор гэж нэрлэгддэг.

Ердийн олон өнцөгтийг тодорхойлохдоо "гүдгэр" гэдэг үгийг зориудаар онцолсонгүй - илт тод байдлыг харгалзан үзсэн. Мөн энэ нь "бүх царай нь тэдгээрийн аль нэгийг нь дайран өнгөрч буй онгоцны нэг талд байрладаг" гэсэн нэмэлт шаардлага гэсэн үг юм. Хэрэв бид ийм хязгаарлалтаас татгалзвал Платоны хатуу биетүүдэд "өргөтгөсөн октаэдр" -ээс гадна дөрвөн олон талт (тэдгээрийг Кеплер-Пуинсотын хатуу биетүүд гэж нэрлэдэг) нэмэх шаардлагатай бөгөөд тус бүр нь "бараг тогтмол" байх болно. Эдгээрийг бүгдийг нь Платоновын "од дүр" -ээс олж авсан. бие, өөрөөр хэлбэл ирмэгийг нь бие биетэйгээ огтлолцох хүртэл сунгаж, тиймээс од гэж нэрлэдэг. Шоо болон тетраэдр нь шинэ дүрс үүсгэдэггүй - тэдний нүүр царай хэр их үргэлжлүүлсэн ч огтлолцохгүй.

Хэрэв та октаэдрийн бүх нүүрийг бие биетэйгээ огтлолцох хүртэл сунгавал хоёр тетраэдр нэвтрэх үед гарч ирэх дүрс гарч ирнэ - "өргөтгөсөн октаэдр" гэж нэрлэдэг. октаэдр."

Икосаэдр ба додекаэдр нь дэлхийд нэг дор дөрвөн "бараг энгийн олон талт" -ыг өгдөг. Тэдний нэг нь Иоганнес Кеплерийн анх олж авсан жижиг одтой додекаэдр юм.

Олон зуун жилийн турш математикчид бүх төрлийн оддыг тал нь огтлолцдог тул олон өнцөгт гэж нэрлэх эрхийг хүлээн зөвшөөрдөггүй байв. Людвиг Шляфли геометрийн биетийг нүүр нь хоорондоо огтлолцсон тул олон талтуудын гэр бүлээс хасаагүй боловч яриа нь жижиг одтой хоёр талт тал руу шилжсэн даруйдаа тэрээр хатуу хэвээр байв. Түүний аргумент энгийн бөгөөд жинтэй байсан: Кеплерийн энэ амьтан Эйлерийн томъёог дагаж мөрддөггүй! Түүний нуруу нь үүсдэг арван хоёр нүүр, гучин ирмэг, арван хоёр орой, тиймээс B+G-R нь хоёртой тэнцэхгүй.

Schläfli зөв, буруу хоёулаа байсан. Мэдээжийн хэрэг, геометрийн зараа нь үл ойлгогдох томьёоны эсрэг тэрслэх тийм өргөст биш юм. Энэ нь огтлолцсон арван хоёр од хэлбэртэй нүүрнээс бүрддэг гэдгийг та анхаарч үзэхгүй, харин 90 ирмэг, 32 оройтой, 60 гурвалжингаас бүрдсэн энгийн, шударга геометрийн бие гэж үзэх хэрэгтэй.

Дараа нь B+G-R=32+60-90 нь таамаглаж байсанчлан 2-той тэнцүү байна. Гэхдээ дараа нь "зөв" гэдэг үг энэ олон өнцөгтэд хамаарахгүй - эцэст нь түүний нүүр царай нь одоо тэгш өнцөгт биш, зүгээр л тэгш өнцөгт гурвалжин юм. Кеплер тэгээгүй хүлээн авсан тоо нь давхар гэдгийг ойлгосон.

"Агуу хоёр талт" гэж нэрлэгддэг олон өнцөгтийг Францын геометр Луис Поинсо Кеплерийн одны дүрсүүдээс хоёр зуун жилийн дараа бүтээжээ.

Агуу икосаэдрийг анх 1809 онд Луис Поинсот дүрсэлсэн байдаг. Кеплер дахин том одтой хоёр талт бөмбөрцөг үзээд хоёр дахь дүрсийг нээх нэр төрийг Луис Поинсотод үлдээв. Эдгээр тоонууд нь Эйлерийн томъёонд тэн хагас нь захирагддаг.

Практик хэрэглээ

Байгаль дахь олон талт

Тогтмол олон талт хэлбэрүүд нь хамгийн давуу талтай байдаг тул байгальд өргөн тархсан байдаг. Үүнийг зарим талстуудын хэлбэр нотолж байна. Жишээлбэл, ширээний давсны талстууд нь шоо хэлбэртэй байдаг. Хөнгөн цагааны үйлдвэрлэлд хөнгөн цагаан калийн кварцыг ашигладаг бөгөөд нэг талст нь ердийн октаэдр хэлбэртэй байдаг. Хүхрийн хүчил, төмөр, тусгай төрлийн цементийн үйлдвэрлэлийг хүхрийн пиритгүйгээр хийх боломжгүй юм. Энэхүү химийн бодисын талстууд нь додекаэдрон хэлбэртэй байдаг. Эрдэмтдийн нэгтгэсэн бодис болох сурьма натрийн сульфатыг янз бүрийн химийн урвалд ашигладаг. Натрийн сурьфатын сульфатын талст нь тетраэдр хэлбэртэй байдаг. Сүүлчийн ердийн олон талст, икосаэдр нь борын талстуудын хэлбэрийг дамжуулдаг.

Од хэлбэртэй полиэдра нь маш гоёл чимэглэлийн шинж чанартай бөгөөд энэ нь үнэт эдлэлийн салбарт бүх төрлийн үнэт эдлэл үйлдвэрлэхэд өргөнөөр ашиглах боломжийг олгодог. Тэдгээрийг архитектурт ч ашигладаг. Олон талт одны олон хэлбэрийг байгаль өөрөө санал болгодог. Цасан ширхгүүд нь од хэлбэртэй олон өнцөгт юм. Эрт дээр үеэс хүмүүс бүх төрлийн цасан ширхгийг дүрслэхийг оролдож, тусгай атлас эмхэтгэсэн. Одоо хэдэн мянган төрлийн цасан ширхгийг мэддэг болсон.

Тогтмол олон өнцөгт нь амьд байгальд бас байдаг. Жишээлбэл, нэг эст организмын араг яс нь икосаэдр хэлбэртэй байдаг. Ихэнх феодариа далайн гүнд амьдардаг бөгөөд шүрэн загасны идэш болдог. Гэхдээ хамгийн энгийн амьтан араг ясны 12 оргилоос гарч ирсэн арван хоёр нуруугаараа өөрийгөө хамгаалдаг. Энэ нь одны олон өнцөгттэй илүү төстэй юм.

Мөн бид олон өнцөгтийг цэцэг хэлбэрээр ажиглаж болно. Үүний тод жишээ бол какти юм.

Холбогдох мэдээлэл.