ตัวเรขาคณิต

การแนะนำ

ใน Stereometry มีการศึกษาตัวเลขในอวกาศซึ่งเรียกว่า ร่างกายทางเรขาคณิต.

วัตถุรอบตัวเราทำให้เรามีความคิดเกี่ยวกับวัตถุทางเรขาคณิต ตัวเรขาคณิตเป็นวัตถุจินตภาพซึ่งต่างจากวัตถุจริง ชัดเจน ร่างกายทางเรขาคณิตเราต้องจินตนาการว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของพื้นที่ที่ถูกครอบครองโดยสสาร (ดินเหนียว ไม้ โลหะ ...) และถูกจำกัดด้วยพื้นผิว

ตัวเรขาคณิตทั้งหมดแบ่งออกเป็น รูปทรงหลายเหลี่ยมและ ตัวกลม.

รูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือตัวเรขาคณิตที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด

ขอบรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบเป็นพื้นผิว

ซี่โครงของรูปทรงหลายเหลี่ยม เรียกว่า ด้านข้างของใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ยอดเขาของรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าจุดยอดของใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบ่งออกเป็น นูนและ ไม่นูน.

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูนถ้ามันอยู่ด้านใดด้านหนึ่งของใบหน้าใดด้านหนึ่ง

ออกกำลังกาย. ระบุ ขอบ, ซี่โครงและ ยอดเขาลูกบาศก์แสดงในรูป

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนแบ่งออกเป็น ปริซึมและ ปิรามิด.

ปริซึม

ปริซึมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าสองหน้าเท่ากันและขนานกัน
n-gons และส่วนที่เหลือ nใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สอง n-gons ถูกเรียกว่า ฐานปริซึม, สี่เหลี่ยมด้านขนาน – ใบหน้าด้านข้าง. ด้านข้างของใบหน้าด้านข้างและฐานเรียกว่า ซี่โครงปริซึมเรียกว่าปลายขอบ จุดยอดของปริซึม. ขอบด้านข้างเป็นขอบที่ไม่อยู่ในฐาน

รูปหลายเหลี่ยม A 1 A 2 ...A n และ B 1 B 2 ...B n เป็นฐานของปริซึม

สี่เหลี่ยมด้านขนาน A 1 A 2 B 2 B 1, ... - ใบหน้าด้านข้าง

คุณสมบัติของปริซึม:

· ฐานของปริซึมมีขนาดเท่ากันและขนานกัน

· ขอบด้านข้างของปริซึมเท่ากันและขนานกัน

ปริซึมในแนวทแยงเรียกว่าส่วนเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกัน

ความสูงของปริซึมเรียกว่า การตกตั้งฉากจากจุดฐานบนถึงระนาบของฐานล่าง

ปริซึมเรียกว่า 3 เหลี่ยม, 4 เหลี่ยม, ..., n-ถ่านหินถ้าเป็นฐาน
3 เหลี่ยม 4 เหลี่ยม ..., n-กอน

ปริซึมโดยตรงเรียกว่าปริซึมซึ่งมีซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ใบหน้าด้านข้างของปริซึมตรงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ปริซึมเอียงเรียกว่าปริซึมที่ไม่ตรง ใบหน้าด้านข้างของปริซึมเอียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ด้วยปริซึมที่ถูกต้องเรียกว่า ตรงปริซึมที่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอยู่ที่ฐาน

พื้นที่ เต็มพื้นผิวปริซึมเรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าทั้งหมด

พื้นที่ พื้นผิวด้านข้างปริซึมเรียกว่าผลรวมของพื้นที่หน้าด้านข้าง

สเต็ม = สข้าง + 2 สขั้นพื้นฐาน

รูปทรงหลายเหลี่ยม

• รูปทรงหลายเหลี่ยม- นี่คือวัตถุที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูน

• รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่า นูน ,หากอยู่ด้านหนึ่งของรูปหลายเหลี่ยมแบนแต่ละรูปบนพื้นผิว

• Euclid (สันนิษฐานว่า 330-277 ปีก่อนคริสตกาล) - นักคณิตศาสตร์ของโรงเรียนอเล็กซานเดรียนแห่งกรีกโบราณผู้แต่งบทความเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เล่มแรกที่ลงมาหาเรา "องค์ประกอบ" (ในหนังสือ 15 เล่ม)

ใบหน้าด้านข้าง.

• ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนสองรูปที่วางอยู่ในระนาบที่แตกต่างกันและรวมกันโดยการแปลแบบขนาน และทุกส่วนเชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้รูปหลายเหลี่ยม Ф และ Ф1 ที่วางอยู่ในระนาบขนานเรียกว่าฐานปริซึม และใบหน้าที่เหลือเรียกว่า ใบหน้าด้านข้าง.

• พื้นผิวของปริซึมจึงประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมที่เท่ากันสองรูป (ฐาน) และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (ด้านด้านข้าง) มีปริซึมสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม ฯลฯ ขึ้นอยู่กับจำนวนจุดยอดของฐาน

• ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมนั้นเรียกว่าปริซึม ตรง ; ถ้าขอบด้านข้างของปริซึมไม่ตั้งฉากกับระนาบของฐาน ปริซึมดังกล่าวจะเรียกว่า โน้มเอียง . ปริซึมตรงมีด้านเป็นสี่เหลี่ยม

ฐานของปริซึมเท่ากัน

• ฐานของปริซึมเท่ากัน

• ฐานของปริซึมอยู่ในระนาบขนานกัน

• ขอบด้านข้างของปริซึมขนานและเท่ากัน

• ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน

• ปรากฎว่าปริซึมไม่เพียงแต่เป็นรูปทรงเรขาคณิตเท่านั้น แต่ยังเป็นผลงานศิลปะชิ้นเอกอีกด้วย มันเป็นปริซึมที่กลายเป็นพื้นฐานสำหรับภาพวาดของ Picasso, Braque, Griss เป็นต้น

• ปรากฎว่าเกล็ดหิมะสามารถมีรูปร่างเป็นปริซึมหกเหลี่ยมได้ แต่จะขึ้นอยู่กับอุณหภูมิของอากาศ

• ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช จ. ประภาคารถูกสร้างขึ้นเพื่อให้เรือสามารถผ่านแนวปะการังได้อย่างปลอดภัยระหว่างทางไปอ่าวอเล็กซานเดรีย ในตอนกลางคืนพวกเขาได้รับความช่วยเหลือจากการสะท้อนของเปลวไฟและในระหว่างวันโดยกลุ่มควัน เป็นประภาคารแห่งแรกของโลกและมีอายุยืนยาวถึง 1,500 ปี

• ประภาคารแห่งนี้สร้างขึ้นบนเกาะฟารอสเล็กๆ ในทะเลเมดิเตอร์เรเนียน นอกชายฝั่งอเล็กซานเดรีย ใช้เวลาสร้าง 20 ปี และแล้วเสร็จประมาณ 280 ปีก่อนคริสตกาล

• ในศตวรรษที่ 14 ประภาคารถูกทำลายด้วยแผ่นดินไหว เศษซากของมันถูกใช้ในการก่อสร้างป้อมทหาร ป้อมแห่งนี้ได้รับการสร้างขึ้นใหม่หลายครั้งและยังคงตั้งตระหง่านอยู่บนพื้นที่ของประภาคารแห่งแรกของโลก

Mausolus เป็นผู้ปกครองของ Caria เมืองหลวงของภูมิภาคนี้คือ Halicarnassus มอโซลุสแต่งงานกับอาร์เทมิเซียน้องสาวของเขา เขาตัดสินใจสร้างสุสานสำหรับตัวเองและราชินีของเขา Mavsol ฝันถึงอนุสาวรีย์อันยิ่งใหญ่ที่จะเตือนให้โลกนึกถึงความมั่งคั่งและอำนาจของเขา เขาเสียชีวิตก่อนที่งานบนหลุมฝังศพจะแล้วเสร็จ อาร์เตมิเซียยังคงเป็นผู้นำการก่อสร้างต่อไป สุสานแห่งนี้สร้างขึ้นเมื่อ 350 ปีก่อนคริสตกาล จ. มันถูกตั้งชื่อว่าสุสานตามกษัตริย์

ขี้เถ้าของพระราชวงศ์ทั้งสองถูกเก็บไว้ในโกศทองคำในสุสานที่ฐานของอาคาร สิงโตหินแถวหนึ่งเฝ้าห้องนี้ โครงสร้างนี้มีลักษณะคล้ายกับวิหารกรีก ล้อมรอบด้วยเสาและรูปปั้น ที่ด้านบนของอาคารมีปิรามิดขั้นบันได ที่ความสูง 43 เมตรเหนือพื้นดิน ประดับด้วยรูปปั้นรถม้าที่ลากด้วยม้า อาจมีรูปปั้นของกษัตริย์และราชินีอยู่บนนั้น

• สิบแปดศตวรรษต่อมา แผ่นดินไหวได้ทำลายสุสานจนพังทลาย เวลาผ่านไปอีกสามร้อยปีก่อนที่นักโบราณคดีจะเริ่มขุดค้น ในปีพ.ศ. 2400 การค้นพบทั้งหมดถูกส่งไปยังบริติชมิวเซียมในลอนดอน ตอนนี้ ณ สถานที่ที่ครั้งหนึ่งเคยเป็นสุสาน เหลือหินเพียงไม่กี่ก้อนเท่านั้น

คริสตัล.

รูปทรงเรขาคณิตไม่เพียงสร้างขึ้นด้วยมือมนุษย์เท่านั้น แต่ยังมีอยู่มากมายในธรรมชาติด้วย ผลกระทบต่อรูปลักษณ์ของพื้นผิวโลกจากปัจจัยทางธรรมชาติ เช่น ลม น้ำ แสงแดด เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นเองและวุ่นวายมาก อย่างไรก็ตาม เนินทราย ก้อนกรวดตามชายทะเล ปล่องภูเขาไฟที่ดับแล้วมีรูปร่างเป็นรูปทรงเรขาคณิต บางครั้งพบหินในพื้นดินที่มีรูปร่างเช่นนี้ ราวกับว่ามีคนตัดมันออกอย่างระมัดระวัง บดมัน และขัดมันออก เป็น - คริสตัล.

ขนานกัน.

• หากฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน แสดงว่ามันถูกเรียกว่า ขนานกัน.

• รูปแบบของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ:

• ห้องเย็น

• ปรากฎว่าผลึกแคลไซต์ไม่ว่าจะถูกบดให้เป็นชิ้นเล็กๆ มากแค่ไหน ก็มักจะแตกออกเป็นชิ้นๆ ที่มีรูปร่างคล้ายขนานกัน

• อาคารในเมืองส่วนใหญ่มักมีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม ตามกฎแล้ว สิ่งเหล่านี้คือแบบขนานธรรมดา และมีเพียงโซลูชันทางสถาปัตยกรรมที่ไม่คาดคิดเท่านั้นที่ตกแต่งเมือง

• 1. ปริซึมสม่ำเสมอหรือไม่ถ้าขอบเท่ากัน?

• ก. ใช่; ค) ไม่ ชี้แจงคำตอบของคุณ

• 2. ความสูงของปริซึมสามเหลี่ยมปกติคือ 6 ซม. ด้านข้างของฐานคือ 4 ซม. จงหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของปริซึมนี้

• 3. พื้นที่ของด้านทั้งสองของปริซึมสามเหลี่ยมเอียงคือ 40 และ 30 ตารางเซนติเมตร มุมระหว่างใบหน้าเหล่านี้เป็นเส้นตรง ค้นหาพื้นที่ผิวด้านข้างของปริซึม

• 4. ใน ABCDA1B1C1D1 ที่ขนานกัน จะมีการวาดส่วน A1BC และ CB1D1 ระนาบเหล่านี้แบ่งเส้นทแยงมุม AC1 ในอัตราส่วนเท่าใด

• 1) จัตุรมุขที่มี 4 ใบหน้า 4 จุดยอด 6 ขอบ

• 2) ลูกบาศก์ - 6 หน้า, 8 จุดยอด, 12 ขอบ;

• 3) แปดหน้า - 8 หน้า, 6 จุดยอด, 12 ขอบ;

• 4) สิบสองหน้า - 12 หน้า, 20 จุดยอด, 30 ขอบ;

• 5) icosahedron - 20 หน้า, 12 จุดยอด, 30 ขอบ

ทาลีสแห่งมิเลทัส, ผู้สร้าง โยน พีทาโกรัสแห่งซามอส

นักวิทยาศาสตร์และนักปรัชญาของกรีกโบราณได้นำความสำเร็จของวัฒนธรรมและวิทยาศาสตร์ของตะวันออกโบราณมาใช้และปรับปรุงใหม่ Thales, Pythagoras, Democritus, Eudoxus และคนอื่นๆ เดินทางไปอียิปต์และบาบิโลนเพื่อศึกษาดนตรี คณิตศาสตร์ และดาราศาสตร์ ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่จุดเริ่มต้นของวิทยาศาสตร์เรขาคณิตกรีกเกี่ยวข้องกับชื่อนี้ ทาลีสแห่งมิเลทัส, ผู้สร้าง โยนโรงเรียน ชาวโยนกซึ่งอาศัยอยู่ในดินแดนที่ติดกับประเทศทางตะวันออก เป็นกลุ่มแรกที่ยืมความรู้เกี่ยวกับตะวันออกและเริ่มพัฒนาความรู้นั้น นักวิทยาศาสตร์ของโรงเรียนโยนกเป็นคนแรกที่ได้รับการประมวลผลเชิงตรรกะและจัดระบบข้อมูลทางคณิตศาสตร์ที่ยืมมาจากชนชาติตะวันออกโบราณ โดยเฉพาะจากชาวบาบิโลน Proclus และนักประวัติศาสตร์คนอื่นๆ ถือว่าการค้นพบทางเรขาคณิตหลายอย่างเป็นของ Thales หัวหน้าของโรงเรียนแห่งนี้ เกี่ยวกับทัศนคติ พีทาโกรัสแห่งซามอสสำหรับเรขาคณิต Proclus เขียนคำอธิบายต่อไปนี้ในคำอธิบายของเขาเกี่ยวกับองค์ประกอบของ Euclid: "เขาศึกษาวิทยาศาสตร์นี้ (เช่น เรขาคณิต) โดยเริ่มจากรากฐานแรกๆ และพยายามหาทฤษฎีบทโดยใช้การคิดเชิงตรรกะล้วนๆ" คุณลักษณะของ Proclus มาจากพีทาโกรัส นอกเหนือจากทฤษฎีบทที่รู้จักกันดีในเรื่องกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากแล้ว การสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ 5 แบบ:

ของแข็งของเพลโต

ของแข็งของเพลโต เป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ มุมหลายเหลี่ยมของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเท่ากันทุกประการ ต่อไปนี้จากการคำนวณผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอด จะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูนไม่เกิน 5 รูป เมื่อใช้วิธีการที่ระบุด้านล่าง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอยู่ห้าหน้าพอดี (ซึ่ง Euclid พิสูจน์แล้ว) พวกมันคือจัตุรมุขปกติ ลูกบาศก์ แปดหน้า สิบสองหน้า และไอโคซาเฮดรอน

แปดด้าน (รูปที่ 3)

• แปดด้าน -แปดหน้า; ร่างกายล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมแปดรูป รูปแปดด้านปกติล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดรูป หนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 3)

• สิบสองหน้า -สิบสองหน้า ลำตัวล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมสิบสองรูป รูปห้าเหลี่ยมปกติ หนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ . (รูปที่ 4)

• ไอโคซาฮีดรอน -ยี่สิบเฮดรอน ลำตัวล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมยี่สิบรูป ไอโคซาฮีดรอนปกติถูกจำกัดด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่ายี่สิบรูป หนึ่งในห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 5)

ใบหน้าของสิบสองหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ เส้นทแยงมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่ารูปห้าเหลี่ยมดาว ซึ่งเป็นร่างที่ทำหน้าที่เป็นสัญลักษณ์ ซึ่งเป็นเครื่องหมายประจำตัวของนักเรียนพีทาโกรัส เป็นที่ทราบกันดีว่าในเวลาเดียวกัน Pythagorean League ก็เป็นโรงเรียนปรัชญา พรรคการเมือง และภราดรภาพทางศาสนา ตามตำนานเล่าว่าพีทาโกรัสคนหนึ่งล้มป่วยในต่างแดนและไม่สามารถจ่ายเงินให้เจ้าของบ้านที่ดูแลเขาก่อนที่เขาจะเสียชีวิตได้ ฝ่ายหลังได้วาดภาพห้าเหลี่ยมรูปดาวไว้ที่ผนังบ้านของเขา เมื่อเห็นป้ายนี้ไม่กี่ปีต่อมา พีทาโกรัสพเนจรอีกคนหนึ่งได้สอบถามถึงสิ่งที่เกิดขึ้นจากเจ้าของและตอบแทนเขาอย่างไม่เห็นแก่ตัว

• ข้อมูลที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับชีวิตและกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ของพีทาโกรัสยังไม่ได้รับการเก็บรักษาไว้ เขาให้เครดิตกับการสร้างหลักคำสอนเรื่องความคล้ายคลึงกันของตัวเลข เขาอาจเป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์กลุ่มแรกที่มองว่าเรขาคณิตไม่ใช่เป็นสาขาวิชาเชิงปฏิบัติและประยุกต์ แต่เป็นวิทยาศาสตร์เชิงตรรกศาสตร์เชิงนามธรรม

สำนักพีทาโกรัสค้นพบการมีอยู่ของปริมาณที่เทียบไม่ได้ กล่าวคือ ปริมาณที่ความสัมพันธ์ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเต็มหรือเศษส่วนใดๆ ได้ ตัวอย่างคืออัตราส่วนของความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสต่อความยาวของด้าน ซึ่งเท่ากับ C2 จำนวนนี้ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ (เช่น จำนวนเต็มหรืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองตัว) และเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ กล่าวคือ ไม่ลงตัว (จากอัตราส่วนละติน - ทัศนคติ)

จัตุรมุข (รูปที่ 1)

• จัตุรมุข - จัตุรมุข ใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ ปิรามิดสามเหลี่ยม จัตุรมุขปกติล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่อัน หนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 1)

• ลูกบาศก์หรือรูปทรงหกเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 2)

จัตุรมุข - จัตุรมุข ใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ ปิรามิดสามเหลี่ยม จัตุรมุขปกติล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่อัน หนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 1)

• จัตุรมุข - จัตุรมุข ใบหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม กล่าวคือ ปิรามิดสามเหลี่ยม จัตุรมุขปกติล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่อัน หนึ่งในห้ารูปหลายเหลี่ยมปกติ (รูปที่ 1)

• ลูกบาศก์หรือรูปทรงหกเหลี่ยมปกติ - ปริซึมสี่เหลี่ยมปกติที่มีขอบเท่ากัน กั้นด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัสหกช่อง (รูปที่ 2)

พีระมิด

• พีระมิด- รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบน - ฐานของปิรามิด, จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐานบนของปิรามิดและทุกส่วนที่เชื่อมต่อด้านบนของปิรามิดกับจุดของฐาน

ในภาพคือปิรามิดห้าเหลี่ยม SABCDEและการพัฒนาของมัน สามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมเรียกว่า ใบหน้าด้านข้างปิรามิด; จุดยอดทั่วไปของใบหน้าด้านข้าง - สูงสุดปิรามิด; รูปหลายเหลี่ยมซึ่งไม่มีจุดยอดนี้อยู่ พื้นฐานปิรามิด; ขอบของปิรามิดมาบรรจบกันที่ปลายยอด - ซี่โครงด้านข้างปิรามิด ความสูงพีระมิด คือ ส่วนตั้งฉากที่ลากผ่านด้านบนจนถึงระนาบฐาน โดยมีปลายอยู่ที่ด้านบนและบนระนาบฐานของพีระมิด ในรูปมีส่วน ดังนั้น- ความสูงของปิรามิด

• คำนิยาม . ปิระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและมีจุดยอดยื่นออกมาตรงกลาง เรียกว่า ปิระมิดปกติ

• รูปนี้แสดงปิรามิดหกเหลี่ยมปกติ

ปริมาตรของยุ้งข้าวและโครงสร้างอื่นๆ ในรูปของลูกบาศก์ ปริซึม และทรงกระบอก คำนวณโดยชาวอียิปต์และชาวบาบิโลน ชาวจีน และชาวอินเดีย โดยการคูณพื้นที่ฐานด้วยความสูง อย่างไรก็ตาม ชาวตะวันออกโบราณรู้เพียงกฎบางอย่างเท่านั้น ซึ่งพบจากการทดลอง ซึ่งใช้ในการค้นหาปริมาตรสำหรับพื้นที่ของตัวเลข ในเวลาต่อมา เมื่อเรขาคณิตถูกสร้างขึ้นเป็นวิทยาศาสตร์ ก็พบวิธีการทั่วไปในการคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม

• ในบรรดานักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกผู้น่าทึ่งแห่งศตวรรษที่ V - IV ก่อนคริสต์ศักราช ผู้พัฒนาทฤษฎีปริมาตรคือ Democritus of Abdera และ Eudoxus of Cnidus

• Euclid ไม่ได้ใช้คำว่า "ปริมาตร" สำหรับเขาแล้ว คำว่า "ลูกบาศก์" ก็หมายถึงปริมาตรของลูกบาศก์ด้วย ในเล่ม XI ของ "หลักการ" มีการนำเสนอทฤษฎีบทต่อไปนี้ และอื่นๆ อีกมากมาย

• 1. รูปขนานที่มีความสูงเท่ากันและมีฐานเท่ากันจะมีขนาดเท่ากัน.

• 2. อัตราส่วนของปริมาตรของรูปขนานสองตัวที่มีความสูงเท่ากันจะเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่ฐาน.

• 3. ในพื้นที่ขนานที่มีพื้นที่เท่ากัน พื้นที่ฐานจะแปรผกผันกับความสูง.

• ทฤษฎีบทของยุคลิดเกี่ยวข้องเฉพาะกับการเปรียบเทียบปริมาตร เนื่องจากยุคลิดอาจถือว่าการคำนวณปริมาตรของวัตถุโดยตรงเป็นเรื่องของคู่มือเชิงปฏิบัติในเรขาคณิต ในงานประยุกต์ของ Heron of Alexandria มีกฎสำหรับการคำนวณปริมาตรของลูกบาศก์, ปริซึม, ขนานและตัวเลขเชิงพื้นที่อื่น ๆ

• ปริซึมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่า ปริซึมแบบขนาน

• ตามคำนิยาม รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมรูปสี่เหลี่ยม ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน. รูปทรงที่ขนานกันเหมือนกับปริซึมสามารถเป็นได้ ตรงและ โน้มเอียง. รูปที่ 1 แสดงรูปขนานที่มีความโน้มเอียง และรูปที่ 2 แสดงรูปขนานแบบตรง

• รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานขวาซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่า เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน. ใบหน้าของสี่เหลี่ยมด้านขนานทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า แบบจำลองสี่เหลี่ยมด้านขนาน ได้แก่ ห้องเรียน อิฐ และกล่องไม้ขีด

• ความยาวของขอบทั้งสามของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีปลายร่วมเรียกว่า การวัด. ตัวอย่างเช่นมีกล่องไม้ขีดขนาด 15, 35, 50 มม. ลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขนาดเท่ากัน ลูกบาศก์ทั้งหกหน้ามีสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากัน

• ลองพิจารณาคุณสมบัติบางประการของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานกัน

• ทฤษฎีบท. เส้นขนานนั้นมีความสมมาตรประมาณกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม

• มันเป็นไปตามโดยตรงจากทฤษฎีบท คุณสมบัติที่สำคัญของรูปขนาน:

• 1. ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของเส้นขนานและผ่านตรงกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เส้นทแยงมุมทั้งหมดของจุดตัดรูปขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งออกเป็นสองส่วน 2. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจะขนานกันและเท่ากัน

“ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม” - รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตลเลตปกติ สิบสองหน้า สิบสองหน้าดาวขนาดเล็ก รูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงหกเหลี่ยม ของแข็งของเพลโต ปริซึมตอยด์ พีระมิด ไอโคซาฮีดรอน แปดด้าน วัตถุที่ถูกจำกัดด้วยระนาบจำนวนจำกัด รูปแปดด้านของดาว สองหน้า. กฎแห่งการตอบแทนซึ่งกันและกัน นักคณิตศาสตร์. จัตุรมุข.

“รูปทรงหลายเหลี่ยมของลำตัวเรขาคณิต” - รูปทรงหลายเหลี่ยม ปริซึม การดำรงอยู่ของปริมาณที่ไม่สมส่วน พอยน์แคร์ ขอบ. การวัดปริมาตร ใบหน้าของรูปคู่ขนาน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน เรามักจะเห็นปิรามิดบนถนน รูปทรงหลายเหลี่ยม ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจ. ประภาคารอเล็กซานเดรียน รูปทรงเรขาคณิต ระยะห่างระหว่างเครื่องบิน เมมฟิส.

“น้ำตกรูปทรงหลายเหลี่ยม” - ขอบของลูกบาศก์ ขอบแปดด้าน ลูกบาศก์และสิบสองหน้า หน่วยจัตุรมุข สิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอน รูปทรงสิบสองหน้าและจัตุรมุข ทรงแปดหน้าและทรงแปดหน้า รูปทรงหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ แปดหน้าและสิบสองหน้า ไอโคซาเฮดรอนและทรงแปดหน้า หน่วยไอโคซาเฮดรอน จัตุรมุขและไอโคซาเฮดรอน หน่วยสิบสองหน้า แปดด้านและจัตุรมุข ลูกบาศก์และจัตุรมุข

“โพลีเฮดรา” สามมิติ” - โพลีเฮดราในสถาปัตยกรรม ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม ตั้งชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยม. มหาปิรามิดแห่งกิซ่า. ของแข็งพลาโทนิก แก้ไขห่วงโซ่ตรรกะ รูปทรงหลายเหลี่ยม การอ้างอิงทางประวัติศาสตร์ ชั่วโมงที่ดีที่สุดของรูปทรงหลายเหลี่ยม การแก้ปัญหา. วัตถุประสงค์ของบทเรียน “เล่นกับผู้ชม” รูปทรงเรขาคณิตและชื่อสอดคล้องกันหรือไม่?

“รูปทรงหลายเหลี่ยมของดาวฤกษ์” - รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แสดงในภาพ รูปทรงหลายเหลี่ยมดาว ซี่โครงด้านข้าง. ลูกบาศก์ดาวฤกษ์ icosahedron ที่ถูกตัดทอนเป็นรูปดาว รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จากการตัดปลายไอโคซาฮีดรอนที่มีรูปดาวตัดทอนออก จุดยอดของรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดวงดาวอันยิ่งใหญ่ icosahedrons ดวงดาว สิบสองหน้าผู้ยิ่งใหญ่

“ ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบ” - ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยม รอยตัดเป็นรูปห้าเหลี่ยม ร่องรอยของระนาบการตัด ส่วน. ลองหาจุดตัดของเส้นตรงกัน เครื่องบิน. สร้างภาพตัดขวางของลูกบาศก์ สร้างภาพตัดขวางของปริซึม เราพบประเด็น ปริซึม. วิธีการก่อสร้างส่วนต่างๆ ผลรูปหกเหลี่ยม ส่วนของลูกบาศก์ วิธีการตามสัจพจน์

มีการนำเสนอทั้งหมด 29 เรื่อง

เมื่อศึกษารูปหลายเหลี่ยม เราจะพูดถึงรูปหลายเหลี่ยมแบน ซึ่งหมายถึงรูปหลายเหลี่ยมนั้นเองและบริเวณภายในของมัน

สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นในสามมิติ โดยการเปรียบเทียบกับแนวคิดเรื่องรูปหลายเหลี่ยมแบน แนวคิดเรื่องวัตถุและพื้นผิวจึงถูกนำมาใช้

จุดของรูปทรงเรขาคณิตจะเรียกว่าภายในหากมีลูกบอลที่มีจุดศูนย์กลาง ณ จุดนี้ซึ่งเป็นของรูปนี้ทั้งหมด ตัวเลขเรียกว่าภูมิภาคถ้าทั้งหมด

จุดนั้นอยู่ภายในและหากจุดสองจุดใด ๆ สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นขาดที่เป็นของรูปทั้งหมดได้

จุดในอวกาศเรียกว่าจุดขอบเขตของรูปที่กำหนดให้ ถ้าลูกบอลใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลาง ณ จุดนี้มีทั้งจุดที่เป็นของรูปและจุดที่ไม่ได้เป็นของรูปนั้น จุดเขตแดนของพื้นที่จะสร้างขอบเขตของพื้นที่

เนื้อความคือขอบเขตอันจำกัดพร้อมกับขอบเขตของมัน ขอบเขตของร่างกายเรียกว่าพื้นผิวของร่างกาย ร่างกายจะเรียกว่าเรียบง่ายหากสามารถแบ่งออกเป็นปิรามิดสามเหลี่ยมจำนวนจำกัดได้

ในกรณีที่ง่ายที่สุด เนื้อความแห่งการปฏิวัติคือวัตถุที่มีระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่ง (แกนหมุน) ตัดกันเป็นวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางบนเส้นตรงนี้ ทรงกระบอก กรวย และลูกบอลเป็นตัวอย่างของโครงสร้างแห่งการปฏิวัติ

48. มุมหลายเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยม

มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองอันซึ่งมีเส้นแบ่งเขตร่วมกัน ระนาบครึ่งเรียกว่าใบหน้า และเส้นตรงที่จำกัดไว้เรียกว่าขอบของมุมไดฮีดรัล

รูปที่ 142 แสดงมุมไดฮีดรัลที่มีขอบ a และหน้า

ระนาบที่ตั้งฉากกับขอบของมุมไดฮีดรัลจะตัดหน้าของมันตามเส้นครึ่งเส้นสองเส้น มุมที่เกิดจากเส้นครึ่งเส้นเหล่านี้เรียกว่ามุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล การวัดมุมไดฮีดรัลถือเป็นการวัดมุมเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน ถ้าระนาบ y ถูกลากผ่านจุด A ของขอบ a ของมุมไดฮีดรัล ซึ่งตั้งฉากกับขอบนี้ มันจะตัดระนาบ a และ 0 ตามมุมเชิงเส้นครึ่งเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด การวัดระดับของมุมเชิงเส้นนี้คือการวัดระดับของมุมไดฮีดรัล การวัดมุมไดฮีดรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกมุมเชิงเส้น

มุมสามเหลี่ยมเป็นรูปที่ประกอบด้วยมุมแบน 3 มุม มุมเหล่านี้เรียกว่าหน้าของมุมสามเหลี่ยมและด้านข้างเรียกว่าขอบ จุดยอดร่วมของมุมระนาบเรียกว่าจุดยอดของมุมสามเหลี่ยม มุมไดฮีดรัลที่เกิดจากใบหน้าและส่วนต่อขยายของมุมนั้น เรียกว่า มุมไดฮีดรัลของมุมไตรฮีดรัล

แนวคิดของมุมหลายเหลี่ยมถูกกำหนดในลักษณะเดียวกันกับรูปที่ประกอบด้วยมุมระนาบ สำหรับมุมหลายเหลี่ยม แนวคิดเรื่องใบหน้า ขอบ และมุมไดฮีดรัลจะถูกกำหนดในลักษณะเดียวกับมุมสามมิติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนจำนวนจำกัด (รูปที่ 145)

รูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่านูนหากตั้งอยู่บนด้านหนึ่งของระนาบของรูปหลายเหลี่ยมแต่ละรูปบนพื้นผิว (รูปที่ 145, a, b) ส่วนทั่วไปของระนาบดังกล่าวและพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าใบหน้า ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูน ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่าขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และจุดยอดเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

49. ปริซึม ขนานกัน คิวบ์

ปริซึมคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบนสองรูป รวมกันโดยการแปลแบบขนาน และทุกส่วนเชื่อมต่อจุดที่สอดคล้องกันของรูปหลายเหลี่ยมเหล่านี้ รูปหลายเหลี่ยมเรียกว่าฐานของปริซึม และส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดที่สอดคล้องกันเรียกว่าขอบด้านข้างของปริซึม (รูปที่ 146)

เนื่องจากการแปลแบบขนานคือการเคลื่อนที่ ฐานของปริซึมจึงเท่ากัน เนื่องจากในระหว่างการแปลแบบขนาน ระนาบจะเข้าสู่ระนาบขนาน (หรือเข้าไปในตัวมันเอง) ดังนั้น

ฐานของปริซึมอยู่ในระนาบขนานกัน เนื่องจากในระหว่างการแปลแบบขนาน จุดต่างๆ จะเลื่อนไปตามเส้นขนาน (หรือที่ตรงกัน) ด้วยระยะห่างเท่ากัน ดังนั้นขอบด้านข้างของปริซึมจึงขนานและเท่ากัน

รูปที่ 147 a แสดงปริซึมสี่เหลี่ยม รูปหลายเหลี่ยมระนาบ ABCD และนำมารวมกันโดยการแปลแบบขนานที่สอดคล้องกันและเป็นฐานของปริซึม และส่วน AA คือขอบด้านข้างของปริซึม ฐานของปริซึมเท่ากัน (การแปลแบบขนานคือการเคลื่อนไหวและแปลงร่างให้เป็นร่างที่เท่ากัน ย่อหน้าที่ 79) ซี่โครงด้านข้างขนานและเท่ากัน

พื้นผิวของปริซึมประกอบด้วยฐานและพื้นผิวด้านข้าง พื้นผิวด้านข้างประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในแต่ละสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านสองด้านเป็นด้านที่สอดคล้องกันของฐาน และอีกสองด้านเป็นขอบด้านข้างของปริซึมที่อยู่ติดกัน

ในรูปที่ 147 พื้นผิวด้านข้างของปริซึมประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นผิวทั้งหมดประกอบด้วยฐานและสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านบน

ความสูงของปริซึมคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ในหน้าเดียวกันเรียกว่าปริซึมในแนวทแยง ส่วนตัดขวางของปริซึมคือส่วนของระนาบที่ลากผ่านขอบด้านข้างทั้งสองซึ่งไม่อยู่ในด้านเดียวกัน

รูปที่ 147a แสดงปริซึมที่มีส่วนสูงและหนึ่งในเส้นทแยงมุม ส่วนนี้คือส่วนทแยงมุมหนึ่งของปริซึมนี้

ปริซึมจะเรียกว่าเป็นเส้นตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน มิฉะนั้นจะเรียกว่าปริซึม

โน้มเอียง ปริซึมขวาเรียกว่าปกติถ้าฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ

รูปที่ 147 a แสดงปริซึมเอียง และรูปที่ 147, b - ปริซึมตรง โดยที่ขอบตั้งฉากกับฐานของปริซึม รูปที่ 148 แสดงปริซึมปกติ โดยมีฐานตามลำดับ ได้แก่ สามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส และหกเหลี่ยมธรรมดา

ถ้าฐานของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เรียกว่ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน รูปที่ 147 a แสดงเส้นขนานที่มีความโน้มเอียง และรูปที่ 147, b - เส้นขนานตรง

ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่มีจุดยอดร่วมเรียกว่าตรงกันข้าม ในรูปที่ 147 และใบหน้าอยู่ตรงข้ามกัน

สามารถพิสูจน์คุณสมบัติบางประการของเส้นขนานได้

ด้านตรงข้ามของรูปคู่ขนานจะขนานและเท่ากัน

เส้นทแยงมุมของจุดตัดขนานที่จุดหนึ่งและแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด

จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือจุดศูนย์กลางของความสมมาตร

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเรียกว่าทรงลูกบาศก์ ใบหน้าของสี่เหลี่ยมด้านขนานทุกด้านเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบเท่ากันทุกด้านเรียกว่าลูกบาศก์

ความยาวของขอบที่ไม่ขนานกันของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเรียกว่ามิติหรือมิติเชิงเส้น รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีสามมิติเป็นเส้นตรง

สำหรับรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนาน ทฤษฎีบทต่อไปนี้เป็นจริง:

ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน กำลังสองของเส้นทแยงมุมใดๆ จะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของมิติเชิงเส้นทั้งสามของมัน

ตัวอย่างเช่น ในลูกบาศก์ที่มีขอบ a เส้นทแยงมุมจะเท่ากัน:

50. ปิรามิด.

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมแบน - ฐานของปิรามิด, จุดที่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน - ด้านบนของปิรามิดและส่วนทั้งหมดที่เชื่อมต่อด้านบนกับจุดของฐาน (รูปที่. 150) ส่วนที่เชื่อมต่อด้านบนของปิรามิดกับจุดยอดของฐานเรียกว่าขอบด้านข้าง รูปที่ 150a แสดงปิรามิด SABCD รูปสี่เหลี่ยม ABCD เป็นฐานของพีระมิด จุด S คือจุดยอดของพีระมิด ส่วน SA, SB, SC และ SD คือขอบของพีระมิด

ความสูงของปิรามิดนั้นตั้งฉากจากด้านบนของปิรามิดถึงระนาบของฐาน ในรูปที่ 150 SO คือความสูงของปิรามิด

ปิระมิดเรียกว่า -เชิงมุม ถ้าฐานเป็นปิรามิด

สี่เหลี่ยม. ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมเรียกอีกอย่างว่าจัตุรมุข

รูปที่ 151 a แสดงปิรามิดสามเหลี่ยมหรือจัตุรมุข รูปที่ 151 b - รูปสี่เหลี่ยม รูปที่ 151 c - หกเหลี่ยม

ระนาบขนานกับฐานของปิรามิดแล้วตัดกันเป็นการตัดปิรามิดที่คล้ายกันออก

พีระมิดจะเรียกว่าปกติหากฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติและฐานที่มีความสูงตรงกับจุดศูนย์กลางของรูปหลายเหลี่ยมนี้ รูปที่ 151 แสดงปิรามิดปกติ ปิรามิดปกติมีซี่โครงด้านข้างเท่ากัน ดังนั้นใบหน้าด้านข้างจึงมีสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่ากัน ความสูงของหน้าด้านข้างของปิรามิดปกติซึ่งดึงมาจากจุดยอดเรียกว่าเอโพเธม

ตาม ต.3.4 ระนาบ a ซึ่งขนานกับระนาบ 0 ของฐานของพีระมิดและตัดปิรามิดนั้น ตัดปิรามิดที่คล้ายกันออกจากมัน อีกส่วนหนึ่งของปิรามิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรียกว่าปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าของปิรามิดที่ถูกตัดทอนที่วางอยู่ในระนาบขนานเรียกว่าฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอน ใบหน้าที่เหลือเรียกว่าใบหน้าด้านข้าง ฐานของปิรามิดที่ถูกตัดทอนนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่คล้ายกัน (ยิ่งกว่านั้นคือโฮโมเทติก) ใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู รูปที่ 152 แสดงปิรามิดที่ถูกตัดทอน

51. รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะเรียกว่าปกติหากใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีจำนวนด้านเท่ากันและมีขอบจำนวนเท่ากันมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปกติมีห้าประเภท (รูปที่ 154): จัตุรมุขปกติ, ลูกบาศก์, ทรงแปดหน้า, สิบสองหน้า, ไอโคซาฮีดรอน มีการพูดคุยถึงจัตุรมุขและลูกบาศก์ปกติก่อนหน้านี้ (ย่อหน้าที่ 49, 50) ขอบทั้งสามมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของจัตุรมุขและลูกบาศก์ปกติ

ใบหน้าของทรงแปดหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งสี่มาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

ใบหน้าของสิบสองหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งสามมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

ใบหน้าของไอโคซาเฮดรอนเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ แต่ไม่เหมือนกับจัตุรมุขและแปดหน้าตรงตรงที่ขอบทั้งห้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

การแนะนำ

พื้นผิวที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมและล้อมรอบตัวเรขาคณิตบางส่วนเรียกว่าพื้นผิวรูปทรงหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีขอบเขตซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด รูปหลายเหลี่ยมที่ผูกเข้ากับรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้า และเส้นที่ตัดกันของใบหน้าเรียกว่าขอบ

รูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถมีโครงสร้างที่หลากหลายและซับซ้อนมาก โครงสร้างต่างๆ เช่น บ้านที่สร้างด้วยอิฐและบล็อกคอนกรีต เป็นตัวอย่างของโพลีเฮดรา ตัวอย่างอื่นๆ สามารถพบได้ในเฟอร์นิเจอร์ เช่น โต๊ะ ในวิชาเคมี รูปร่างของโมเลกุลไฮโดรคาร์บอนคือทรงจัตุรมุข ซึ่งเป็นทรงยี่สิบเฮดรอนปกติซึ่งเป็นทรงลูกบาศก์ ในวิชาฟิสิกส์ คริสตัลทำหน้าที่เป็นตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ตั้งแต่สมัยโบราณ แนวคิดเกี่ยวกับความงามมีความเกี่ยวข้องกับความสมมาตร สิ่งนี้อาจอธิบายความสนใจของผู้คนในเรื่องรูปทรงหลายเหลี่ยม - สัญลักษณ์สมมาตรที่น่าทึ่งซึ่งดึงดูดความสนใจของนักคิดที่โดดเด่นที่ทึ่งในความงาม ความสมบูรณ์แบบ และความกลมกลืนของตัวเลขเหล่านี้

การกล่าวถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมครั้งแรกนั้นรู้จักกันเมื่อสามพันปีก่อนคริสต์ศักราชในอียิปต์และบาบิโลน เพียงพอที่จะนึกถึงปิรามิดอียิปต์ที่มีชื่อเสียงและปิรามิดแห่ง Cheops ที่มีชื่อเสียงที่สุด นี่คือปิรามิดปกติที่ฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านข้าง 233 ม. และสูงถึง 146.5 ม. ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่พวกเขากล่าวว่าพีระมิดแห่ง Cheops เป็นบทความเงียบ ๆ เกี่ยวกับเรขาคณิต

ประวัติความเป็นมาของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติย้อนกลับไปในสมัยโบราณ เริ่มตั้งแต่ศตวรรษที่ 7 ก่อนคริสต์ศักราช โรงเรียนปรัชญาถูกสร้างขึ้นในสมัยกรีกโบราณ ซึ่งมีการเปลี่ยนแปลงอย่างค่อยเป็นค่อยไปจากเรขาคณิตเชิงปฏิบัติไปเป็นเรขาคณิตเชิงปรัชญา การใช้เหตุผลด้วยความช่วยเหลือซึ่งเป็นไปได้ที่จะได้รับคุณสมบัติทางเรขาคณิตใหม่ได้รับความสำคัญอย่างยิ่งในโรงเรียนเหล่านี้

โรงเรียนแห่งแรกและมีชื่อเสียงที่สุดแห่งหนึ่งคือโรงเรียนพีทาโกรัส ซึ่งตั้งชื่อตามผู้ก่อตั้งโรงเรียนพีทาโกรัส สัญลักษณ์ที่โดดเด่นของพีทาโกรัสคือรูปดาวห้าแฉก ในภาษาคณิตศาสตร์เป็นรูปห้าเหลี่ยมที่ไม่นูนหรือรูปดาวปกติ รูปดาวห้าแฉกได้รับมอบหมายความสามารถในการปกป้องบุคคลจากวิญญาณชั่วร้าย

ชาวพีทาโกรัสเชื่อว่าสสารประกอบด้วยองค์ประกอบพื้นฐานสี่ประการ ได้แก่ ไฟ ดิน ลม และน้ำ พวกเขาถือว่าการมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าอันเกิดจากโครงสร้างของสสารและจักรวาล ตามความเห็นนี้ อะตอมขององค์ประกอบหลักจะต้องมีรูปแบบของร่างกายที่แตกต่างกัน:

§ จักรวาลมีรูปทรงสิบสองหน้า

§ โลก - ลูกบาศก์

§ ไฟ - จัตุรมุข

§ น้ำ - icosahedron

§ อากาศ - แปดด้าน

ต่อมาคำสอนของชาวพีทาโกรัสเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้รับการสรุปไว้ในผลงานของเขาโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณอีกคนคือเพลโตนักปรัชญาอุดมคตินิยม ตั้งแต่นั้นมา รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติก็กลายเป็นที่รู้จักในนามของแข็งแบบพลาโตนิก

ของแข็งพลาโตนิกเป็นโพลีเฮดรานูนที่เป็นเนื้อเดียวกันสม่ำเสมอ นั่นคือ โพลีเฮดรานูน ใบหน้าและมุมทั้งหมดเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ จำนวนขอบที่เท่ากันมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ขอบและมุมหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติจะเท่ากัน ของแข็งพลาโตนิกเป็นอะนาล็อกสามมิติของรูปหลายเหลี่ยมปกติแบบแบน

ทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับโทโพโลยี ทฤษฎีกราฟ และมีความสำคัญอย่างยิ่งทั้งสำหรับการวิจัยเชิงทฤษฎีในเรขาคณิตและสำหรับการใช้งานจริงในสาขาวิชาคณิตศาสตร์อื่นๆ เช่น พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน คณิตศาสตร์ประยุกต์ - การโปรแกรมเชิงเส้น ทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมที่สุด ดังนั้นหัวข้อนี้จึงมีความเกี่ยวข้องและความรู้ในเรื่องนี้เป็นสิ่งสำคัญสำหรับสังคมยุคใหม่

ส่วนสำคัญ

รูปทรงหลายเหลี่ยมคือวัตถุที่มีขอบเขตซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมจำนวนจำกัด

ให้เราให้คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เทียบเท่ากับคำจำกัดความแรกของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยม – นี่คือตัวเลขที่เป็นการรวมกันของจัตุรมุขจำนวนจำกัดซึ่งตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) จัตุรมุขทุก ๆ สองอันไม่มีจุดร่วม หรือมีจุดยอดร่วม หรือมีขอบร่วมเท่านั้น หรือมีหน้าร่วมทั้งหมด

2) จากจัตุรมุขแต่ละอันไปยังอีกอันหนึ่งคุณสามารถไปตามสายโซ่ของจัตุรมุขซึ่งแต่ละอันที่ตามมาจะติดกับอันก่อนหน้าตลอดทั้งใบหน้า

องค์ประกอบรูปทรงหลายเหลี่ยม

ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมจำนวนหนึ่ง (รูปหลายเหลี่ยมคือพื้นที่ปิดที่จำกัด ซึ่งขอบเขตประกอบด้วยส่วนจำนวนจำกัด)

ด้านข้างของใบหน้าเรียกว่าขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม และจุดยอดของใบหน้าเรียกว่าจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม องค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม นอกเหนือจากจุดยอด ขอบ และใบหน้าแล้ว ยังรวมถึงมุมที่เรียบของใบหน้าและมุมไดฮีดรัลที่ขอบด้วย มุมไดฮีดรัลที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมถูกกำหนดโดยใบหน้าที่เข้าใกล้ขอบนี้

การจำแนกประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูน -คือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดสองจุดใดๆ ก็ตามสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ได้ โพลีเฮดรานูนมีคุณสมบัติโดดเด่นมากมาย

ทฤษฎีบทของออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ V-R+G=2,

ที่ไหน ใน – จำนวนจุดยอดของมัน ร - จำนวนซี่โครง ช - จำนวนใบหน้า

ทฤษฎีบทของคอชีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนปิดสองอันที่ประกอบด้วยใบหน้าเท่ากันตามลำดับจะเท่ากัน

รูปทรงหลายเหลี่ยมนูนจะถือว่าสม่ำเสมอหากหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน และมีขอบจำนวนเท่ากันมาบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละจุด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมจะเรียกว่าปกติ ถ้าประการแรก มันนูน ประการที่สอง ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากัน ประการที่สาม จำนวนใบหน้าเท่ากันบรรจบกันที่จุดยอดแต่ละด้าน และประการที่สี่ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินูนอยู่ห้าแบบ ได้แก่ จัตุรมุข, ทรงแปดหน้า และไอโคซาฮีดรอนที่มีหน้าสามเหลี่ยม, ลูกบาศก์ (หกเหลี่ยม) ที่มีหน้าสี่เหลี่ยม และสิบสองหน้าที่มีหน้าห้าเหลี่ยม ข้อพิสูจน์ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่รู้จักมานานกว่าสองพันปีแล้ว ด้วยการพิสูจน์นี้และการศึกษาวัตถุปกติทั้งห้า องค์ประกอบของยุคลิด (นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ ผู้เขียนบทความทางทฤษฎีข้อแรกเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ที่ลงมาหาเรา) ก็เสร็จสมบูรณ์ เหตุใดรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจึงได้ชื่อเช่นนี้ นี่เป็นเพราะจำนวนใบหน้าของพวกเขา จัตุรมุขมี 4 ใบหน้า แปลจากภาษากรีกว่า "tetra" - สี่หน้า "hedron" - ใบหน้า hexahedron (ลูกบาศก์) มี 6 หน้า "hexa" มีหกหน้า แปดด้าน - แปดด้าน "octo" - แปด; สิบสองหน้า - สิบสองหน้า "โดเดก้า" - สิบสอง; อิโคสิเฮดรอนมี 20 หน้า และอิโคซีมี 20 หน้า

2.3. ประเภทของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

1) จัตุรมุขปกติ(ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่รูป แต่ละจุดยอดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมสามรูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 180 0)

2)คิวบ์- รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน มีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมด ลูกบาศก์ประกอบด้วยหกสี่เหลี่ยม จุดยอดแต่ละจุดของลูกบาศก์คือจุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 3 ช่อง ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 270 0

3) ทรงแปดหน้าปกติหรือเพียงแค่ แปดหน้า– รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าสามเหลี่ยมปกติแปดหน้าและใบหน้าสี่หน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด ทรงแปดหน้าประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่าแปดด้าน จุดยอดแต่ละจุดของรูปแปดหน้าคือจุดยอดของสามเหลี่ยมสี่รูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 240 0 สามารถสร้างได้โดยการพับฐานของปิรามิด 2 ชิ้น โดยมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และด้านข้างเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ขอบของทรงแปดหน้าสามารถหาได้โดยการเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของหน้าที่อยู่ติดกันของลูกบาศก์ แต่ถ้าเราเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของหน้าที่อยู่ติดกันของทรงแปดหน้าธรรมดา เราจะได้ขอบของลูกบาศก์ ว่ากันว่าลูกบาศก์และทรงแปดหน้านั้นเป็นของคู่กัน

4)ไอโคซาฮีดรอน- ประกอบด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่ายี่สิบรูป จุดยอดแต่ละจุดของรูปทรงโคซาเฮดรอนคือจุดยอดของสามเหลี่ยมห้ารูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดจะเท่ากับ 300 0

5) สิบสองหน้า- รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติจำนวน 12 รูป จุดยอดแต่ละจุดของรูปทรงสิบสองหน้าคือจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติสามรูป ดังนั้น ผลรวมของมุมระนาบที่แต่ละจุดยอดคือ 324 0

สิบสองหน้าและไอโคซาเฮดรอนยังเป็นคู่ซึ่งกันและกันในแง่ที่ว่าโดยการเชื่อมต่อศูนย์กลางของใบหน้าที่อยู่ติดกันของไอโคซาเฮดรอนด้วยส่วนต่างๆ เราจะได้รูปทรงสิบสองหน้า และในทางกลับกัน

จัตุรมุขธรรมดานั้นมีความเป็นคู่ในตัวมันเอง

ยิ่งไปกว่านั้น ไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่มีใบหน้าเป็นรูปหกเหลี่ยม ปกติ เจ็ดเหลี่ยม และ n-gons โดยทั่วไปสำหรับ n ≥ 6

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ใบหน้าทุกด้านเป็นรูปหลายเหลี่ยมเท่ากันเป็นประจำ และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน แต่ก็มีรูปทรงหลายเหลี่ยมเช่นกัน โดยที่มุมหลายเหลี่ยมทุกมุมเท่ากัน และใบหน้าเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ แต่ตรงกันข้ามกับรูปหลายเหลี่ยมปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทนี้เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งสม่ำเสมอเท่ากัน รูปทรงหลายเหลี่ยมประเภทนี้ถูกค้นพบครั้งแรกโดยอาร์คิมิดีส เขาอธิบายรายละเอียด 13 รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งต่อมาได้รับการตั้งชื่อว่าร่างของอาร์คิมิดีสเพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ เหล่านี้คือ จัตุรมุขที่ถูกตัดทอน, oxahedron ที่ถูกตัดทอน, icosahedron ที่ถูกตัดทอน, ลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน, สิบสองหน้าที่ถูกตัดทอน, ทรงลูกบาศก์, icosidodecahedron, ทรงลูกบาศก์ที่ถูกตัดทอน, icosidodecahedron ที่ถูกตัดทอน, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, "ดูแคลน" (ดูแคลน) ลูกบาศก์ "ดูแคลน" (จมูกคุร์) รูปทรงสิบสองหน้า

2.4. รูปทรงหลายเหลี่ยมกึ่งสม่ำเสมอหรือของแข็งอาร์คิมีดีนเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนที่มีคุณสมบัติ 2 ประการ:

1. ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีสองประเภทขึ้นไป (หากใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติประเภทเดียวกัน ก็จะเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติ)

2. สำหรับจุดยอดคู่ใดๆ จะมีความสมมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม (นั่นคือ การเคลื่อนไหวที่เปลี่ยนรูปทรงหลายเหลี่ยมให้เป็นตัวมันเอง) โดยถ่ายโอนจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มุมยอดหลายเหลี่ยมทุกมุมจะเท่ากันทุกประการ

นอกจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบกึ่งปกติแล้วจากรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ - ของแข็งแบบ Platonic - คุณสามารถได้รับสิ่งที่เรียกว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมแบบ stellate แบบปกติได้ มีเพียงสี่ชิ้นเท่านั้นเรียกอีกอย่างว่าวัตถุเคปเลอร์-พอยโซต์ เคปเลอร์ค้นพบรูปทรงสิบสองหน้าขนาดเล็กซึ่งเขาเรียกว่าหนามหรือเม่น และรูปทรงสิบสองหน้าขนาดใหญ่ พอยโซต์ค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมดาวฤกษ์ปกติอีก 2 ชิ้น ซึ่งจับคู่กับชิ้นแรกตามลำดับ สอง: รูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวฤกษ์ใหญ่และรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ยิ่งใหญ่

จัตุรมุขสองตัวที่เคลื่อนผ่านกันและกันกลายเป็นทรงแปดหน้า โยฮันเนส เคปเลอร์ ตั้งชื่อรูปนี้ว่า "สเตลลารูปแปดเหลี่ยม" - "ดาวแปดเหลี่ยม" นอกจากนี้ยังพบได้ในธรรมชาตินี่คือสิ่งที่เรียกว่าคริสตัลคู่

ในคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ คำว่า "นูน" ไม่ได้ถูกเน้นย้ำโดยเจตนา โดยคำนึงถึงความชัดเจนที่ชัดเจน และนั่นหมายถึงข้อกำหนดเพิ่มเติม: “และใบหน้าทั้งหมดที่อยู่ด้านหนึ่งของเครื่องบินที่ผ่านด้านใดด้านหนึ่ง” หากเราละทิ้งข้อ จำกัด ดังกล่าวไปที่ Platonic solids นอกเหนือจาก "octahedron แบบขยาย" เราจะต้องเพิ่มโพลีเฮดราอีกสี่อัน (เรียกว่าของแข็ง Kepler-Poinsot) ซึ่งแต่ละอันจะ "เกือบปกติ" ทั้งหมดได้มาจากการ "นำแสดงโดย" ของ Platonov กาย คือ ขยายขอบออกจนบรรจบกัน จึงเรียกว่า สเตเลท ลูกบาศก์และจัตุรมุขไม่ได้สร้างรูปร่างใหม่ - ใบหน้าของพวกมันไม่ว่าคุณจะดำเนินต่อไปไกลแค่ไหนก็ไม่ตัดกัน

หากคุณขยายหน้าของรูปแปดด้านทั้งหมดออกจนกระทั่งพวกมันตัดกัน คุณจะได้รูปร่างที่ปรากฏขึ้นเมื่อจัตุรมุขสองตัวแทรกซึมเข้ามา - "สเตลลารูปแปดเหลี่ยม" ซึ่งเรียกว่า "ขยายออก ทรงแปดหน้า”

ไอโคซาฮีดรอนและสิบสองหน้าทำให้โลกทั้งสี่มี "รูปทรงหลายเหลี่ยมเกือบปกติ" ในคราวเดียว หนึ่งในนั้นคือรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดเล็ก ซึ่งได้รับครั้งแรกโดยโยฮันเนส เคปเลอร์

เป็นเวลาหลายศตวรรษแล้วที่นักคณิตศาสตร์ไม่รู้จักสิทธิของดาวฤกษ์ทุกประเภทที่จะเรียกว่ารูปหลายเหลี่ยมได้เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าด้านข้างของพวกมันตัดกัน ลุดวิก ชลาฟลีไม่ได้ขับไล่รูปร่างทรงเรขาคณิตออกจากตระกูลรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียงเพราะใบหน้าของมันตัดกัน อย่างไรก็ตาม เขายังคงยืนกรานทันทีที่บทสนทนาหันไปหารูปทรงสิบสองหน้ารูปดาวขนาดเล็ก ข้อโต้แย้งของเขาเรียบง่ายและมีน้ำหนัก: สัตว์เคปเปิลตัวนี้ไม่เชื่อฟังสูตรของออยเลอร์! กระดูกสันหลังของมันถูกสร้างขึ้น สิบสองหน้า, 30 ขอบ และ 12 จุดยอด ดังนั้น B+G-R จึงไม่เท่ากับ 2 เลย

Schläfli มีทั้งถูกและผิด แน่นอนว่าสัตว์ชนิดหนึ่งที่มีขนแหลมคล้ายเม่นนั้นไม่ได้เต็มไปด้วยหนามพอที่จะต่อต้านสูตรที่ผิดพลาดได้ คุณเพียงแค่ไม่ต้องพิจารณาว่ามันถูกสร้างขึ้นจากใบหน้ารูปดาว 12 หน้าที่ตัดกัน แต่ให้มองมันเป็นตัวเรขาคณิตที่เรียบง่ายและเที่ยงตรงซึ่งประกอบด้วยสามเหลี่ยม 60 รูป โดยมีขอบ 90 มุมและจุดยอด 32 จุด

จากนั้น B+G-R=32+60-90 จะเท่ากับ 2 ตามที่คาดไว้ แต่คำว่า "ถูกต้อง" ใช้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ไม่ได้ เพราะใบหน้าของมันไม่ได้ด้านเท่ากันหมด แต่เป็นเพียงสามเหลี่ยมหน้าจั่วเท่านั้น เคปเลอร์ไม่ได้ ตระหนักว่าตัวเลขที่เขาได้รับนั้นมีสองเท่า

รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งเรียกว่า "รูปทรงสิบสองหน้าที่ยิ่งใหญ่" ถูกสร้างขึ้นโดยนักเรขาคณิตชาวฝรั่งเศส Louis Poinsot สองร้อยปีหลังจากร่างดาวของเคปเลอร์

รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมูอันยิ่งใหญ่ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย Louis Poinsot ในปี 1809 และอีกครั้งที่เคปเลอร์ได้เห็นรูปทรงสิบสองหน้าที่มีดาวขนาดใหญ่ จึงทิ้งเกียรติในการค้นพบร่างที่สองให้กับหลุยส์ พอยโซต์ ตัวเลขเหล่านี้เป็นไปตามสูตรของออยเลอร์เพียงครึ่งเดียว

การใช้งานจริง

รูปทรงหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปร่างที่ได้เปรียบมากที่สุดซึ่งเป็นสาเหตุที่ทำให้พวกมันแพร่หลายในธรรมชาติ สิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากรูปร่างของคริสตัลบางชนิด ตัวอย่างเช่น ผลึกเกลือแกงจะมีรูปทรงลูกบาศก์ ในการผลิตอะลูมิเนียม จะใช้อะลูมิเนียมโพแทสเซียมควอตซ์ ซึ่งเป็นผลึกเดี่ยวที่มีรูปร่างแปดด้านปกติ การผลิตกรดซัลฟิวริก เหล็ก และซีเมนต์ชนิดพิเศษไม่สามารถทำได้หากไม่มีซัลฟิวรัสไพไรต์ ผลึกของสารเคมีนี้มีรูปร่างเป็นสิบสองหน้า พลวงโซเดียมซัลเฟตซึ่งเป็นสารที่นักวิทยาศาสตร์สังเคราะห์ได้ถูกนำมาใช้ในปฏิกิริยาเคมีต่างๆ ผลึกของโซเดียมแอนติโมนีซัลเฟตมีรูปร่างของจัตุรมุข รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติชิ้นสุดท้ายที่เรียกว่า icosahedron สื่อถึงรูปร่างของผลึกโบรอน

โพลีเฮดรารูปดาวมีการตกแต่งอย่างดีซึ่งช่วยให้สามารถนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเครื่องประดับในการผลิตเครื่องประดับทุกชนิด พวกเขายังใช้ในสถาปัตยกรรมอีกด้วย รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทหลายรูปแบบได้รับการแนะนำโดยธรรมชาติ เกล็ดหิมะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนพยายามอธิบายเกล็ดหิมะทุกประเภทที่เป็นไปได้และรวบรวมแผนที่พิเศษ ปัจจุบันเรารู้จักเกล็ดหิมะหลายพันชนิดแล้ว

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติยังพบได้ในธรรมชาติที่มีชีวิต ตัวอย่างเช่น โครงกระดูกของสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) มีรูปร่างเหมือน icosahedron อาหารสัตว์ส่วนใหญ่อาศัยอยู่ในส่วนลึกของทะเลและทำหน้าที่เป็นเหยื่อของปลาปะการัง แต่สัตว์ที่ง่ายที่สุดจะปกป้องตัวเองด้วยหนาม 12 ซี่ที่โผล่ออกมาจากยอดโครงกระดูกทั้ง 12 ยอด ดูเหมือนดาวหลายเหลี่ยมมากกว่า

นอกจากนี้เรายังสามารถสังเกตรูปทรงหลายเหลี่ยมในรูปของดอกไม้ได้อีกด้วย ตัวอย่างที่เด่นชัดคือกระบองเพชร

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.